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All issues Volume 44 / No 2 (April 2026) JNWPU, 44 2 (2026) 327-338 Full HTML
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Issue
JNWPU
Volume 44, Number 2, April 2026
Page(s) 327 - 338
DOI https://doi.org/10.1051/jnwpu/20264420327
Published online 12 June 2026

© 2026 Journal of Northwestern Polytechnical University. All rights reserved.

Licence Creative CommonsThis is an Open Access article distributed under the terms of the Creative Commons Attribution License (https://creativecommons.org/licenses/by/4.0), which permits unrestricted use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original work is properly cited.

自Haykin提出了认知雷达的雏形，适用于认知雷达的自适应波形设计、目标检测跟踪等技术得到了快速发展[1–2]。认知雷达可以自适应地优化发射波形，而装备了电子对抗系统的干扰机还可以针对雷达信号智能地产生相应干扰。在实际运用中，还要考虑不同环境对雷达性能的影响；当环境改变时，使用某种固定波形的雷达信号，其抗干扰能力非常有限，严重制约了认知雷达对目标的识别、感知等性能，且当今传统雷达的工作模式单一、切换过程复杂[2–3]。为此，研究博弈条件下基于多准则的雷达波形设计方法成为了当前重要的课题。

抗干扰波形设计一直都是雷达信号处理领域比较热门的话题，近年来，把博弈论思想应用于波形设计上的研究成果颇丰。Song等[4]把博弈论运用于MIMO雷达的抗干扰波形设计上，建立基于互信息(mutual information, MI)准则的Stackelberg博弈模型，设计了雷达与干扰信号的波形策略，并求解出了纳什均衡解；李伟等[5]建立了基于信干噪比(signal-to-interference-plus-noise ratio, SINR)准则的非合作博弈模型，设计了雷达与干扰信号相应的波形策略，并采用迭代注水法对博弈的纳什均衡进行分析证明；王泓霖等[6]从雷达和干扰机角度，建立了弹载雷达与干扰机之间的动态主导型二元零和博弈模型，并利用二次注水法求解maxmin雷达策略、minmax干扰策略；甘奕夫等[7]在不完全信息条件下，建立了基于Bayesian博弈的制导雷达波形设计模型，并采用二次注水法优化雷达的波形策略，通过拉格朗日乘子法得到雷达与干扰信号最优时的频域表达式；蒋孟燃、杨庆培等[8–9]提出了基于MI准则的雷达发射波形优化算法，同时采用拉格朗日乘子法、最大边缘分配算法(maximum marginal allocation, MMA)求解最优的雷达波形。鹿玉泽、蒋孟燃、曹磊等[10–12]为提升雷达的检测识别性能，从信号估计角度出发，设计了一种以最小均方误差(minimum mean square error, MMSE)准则为代价函数的抗干扰波形设计模型，并利用拉格朗日乘子法推导出了雷达信号最优时的频域表达式。

为提高雷达的抗干扰性能、提升雷达系统的环境适应性，实现雷达工作模式的多功能化、多任务化，满足适应多种作战场景的需求，诸多学者在联合多准则的波形设计道路上进行探索。曹亚丽、董军等[13–15]将MI和SINR进行加权融合，设计了基于联合准则的雷达博弈波形设计模型，并分别运用MMA算法、MMR算法求解，得到了最优的雷达与干扰波形。

在上述研究基础上，本文通过加权方式融合SINR、MI、MMSE 3种准则，设计了一种联合多准则的博弈波形设计模型，并运用MMR算法分别求解雷达与干扰的波形策略，多次迭代至收敛后便可以得到最优的雷达波形，通过该模型设计的雷达波形可以提高雷达的整体性能，实现雷达系统的多功能化、多任务化。对比基于单准则的波形设计方法，本文提出的方法在下述更复杂的场景中具有更好的适用性：①多功能一体化雷达系统：现代较先进的雷达需要同时执行搜索、跟踪、识别、成像等多种雷达任务，不同任务对波形的需求不同甚至矛盾，而本文设计的雷达波形把雷达的抗干扰性能、探测性能、检测识别性能等综合考虑在内，可以很好地平衡这些冲突的需求[16–17]；②动态变化的对抗环境：当战场态势或者任务优先级发生变化时，本文所提方法通过调整权重值可以快速调整雷达性能的侧重点[17]；③复杂电磁环境与智能干扰：面对能够自主学习的智能干扰机，固定的雷达波形是致命的，博弈框架提供了动态反制的理论基础，而联合多准则的波形设计方法则确保抗干扰措施的有效、准确[18–19]。综上所述，本文提出的方法是应对“多功能、高度动态、强对抗”这一现代雷达核心挑战的更优解决方案。要实现这种先进的设计方法，需要同时满足下述应用条件[16–17, 20]：①实时的环境感知与干扰识别：要求雷达具备高灵敏度的感知能力，能及时识别环境和干扰的类型和参数；②高速灵活的信号发生器：雷达发射机能根据博弈决策在很短时间内生成并切换相应的最优波形；③强大的实时计算能力：系统能在极短时间内求解复杂的博弈模型，并找出最优解。综上所述，本文提出的方法对雷达系统提出了一个“全能型”的要求，其严苛的应用条件与多样的适用场景标志着认知雷达正在逐步走向成熟。

1 信号与检测模型

1.1 信号传输模型

建立如图 1所示的雷达发射接收信号模型，假设雷达发射信号为s(t), 雷达接收信号为y(t), 信号带宽为W, 目标脉冲响应h(t)表示持续时间为T的随机过程; r(t)为接收滤波器脉冲响应, h(t), r(t)的傅里叶变换为H(f)与R(f)。噪声n(t)为零均值高斯信道过程, 其功率谱密度(power spectral density, PSD)为Snn(f), 杂波c(t)为非高斯随机过程, 其功率谱密度Scc(f)在整个频带内不为常数; 假设干扰机发射的干扰信号为j(t), 其PSD为J(f); 雷达发射信号s(t)的PSD为S(f)。

Thumbnail: 图1 Refer to the following caption and surrounding text. 图1

雷达发射接收信号模型

雷达接收端接收到的雷达信号为

Mathematical equation(1)

其中, 信号分量为

Mathematical equation(2)

噪声和干扰分量为

Mathematical equation(3)

1.2 基于SINR准则的博弈模型

信干噪比(SINR)是指在信号接收端, 有效信号功率与干扰及噪声总功率的比值, 是衡量通信系统中信号质量与干扰及噪声综合影响的核心指标[3, 18]。SINR的数学表达式为

Mathematical equation(4)

式中: Psignal是指接收到的有用信号的平均功率; Pinterference是指接收到的干扰信号的平均功率, 常见的干扰因素包括多径传播、其他同频段发射源等; Pnoise是指背景噪声的平均功率。

基于图 1所示的模型, 把(2)~(3)式代入(4)式, 可以得到t0时刻SINR的频域表达式为[5]

Mathematical equation(5)

当R(f)取值如(6)式所示时，(5)式取最大值。

Mathematical equation(6)

此时SINR可写为[5]

Mathematical equation(7)

假设雷达可以根据环境与目标的先验知识自适应地调整发射波形, 基于已获取的先验知识, 为提升雷达接收端的SINR, 可通过(8)式设计雷达发射信号的波形[4]。

Mathematical equation(8)

式中：Ps为雷达信号的能量限制; Pj为干扰信号的能量限制。

同样地, 假设敌对方装备了智能对抗设备, 为尽可能地降低我方雷达获取信息的有效性, 敌方利用(9)式设计干扰信号的波形[4]。

Mathematical equation(9)

从(8)~(9)式可以看出, 雷达与干扰处于持续对抗状态, 双方目标函数相反, 利益完成冲突, 博弈双方构成了非合作的二元零和博弈。针对带有功率约束的雷达与干扰的波形策略, 利用拉格朗日乘子法可以把(8)~(9)式转化为凸优化问题, 通过迭代注水法求解, 当博弈达到纳什均衡时, 博弈双方都得到了满足自身约束条件的最优波形[4–5]。

1.3 基于MI准则的博弈模型

基于图 1所示的信号传输模型, 推导得到雷达回波信号与目标冲击响应之间的互信息为[8–9]

Mathematical equation(10)

假设在理想情况、先验知识已知的前提下, 雷达可通过调整发射信号的波形来提升互信息, 以此提高雷达回波信号的有效性, 利用(11)式可设计雷达发射信号的波形[9]。

Mathematical equation(11)

针对干扰方, 假设先验信息已知, 为尽可能地减少我方接收到的有效信息, 通过(12)式设计干扰信号的波形[9]。

Mathematical equation(12)

(11)~(12)式中, 博弈双方构成非合作的二元零和博弈。针对(11)~(12)式中带有功率约束的雷达与干扰策略, 可运用拉格朗日乘子法将其转换为凸优化问题求解[4, 8]; 除此之外运用MMA算法求解该模型也可得到最优的雷达与干扰信号的波形, 此波形即为该博弈模型的纳什均衡解[9]。

1.4 基于MMSE准则的博弈模型

基于图 1所示的雷达发射接收信号模型, 可以得到雷达目标频率响应与其贝叶斯估计值之间的MMSE表达式为[10–12]

Mathematical equation(13)

式中：Hm为真实的目标频率响应; G是用于贝叶斯估值的系数; Y是雷达的回波信号。

对(13)式求导, 可以得到MMSE取最小值时的Gop，如(14)式所示[11]。

Mathematical equation(14)

将(14)式代入(13)式, 可以得到最优条件下的MMSE，如(15)式所示[11]。

Mathematical equation(15)

针对雷达方, 为提升贝叶斯参数估计的准确性, 可通过设计雷达信号的波形来降低MMSE, 利用(16)式设计雷达波形。

Mathematical equation

Mathematical equation(16)

针对干扰方, 假设先验信息已知, 为尽可能地降低雷达的工作性能和雷达贝叶斯估值的准确性, 利用(17)式设计干扰波形。

Mathematical equation(17)

从(16)~(17)式可以看出, 双方针对同一代价函数, 目标相反, 利益完全冲突, 博弈双方构成了非合作的二元零和博弈, 通过拉格朗日乘子法可得到该博弈模型的最优解[11]。

1.5 检测概率

在雷达接收到回波信号后, 需要对信号进行处理以区分目标、噪声等, 针对此类统计判决问题, 根据Neyman-Pearson定理构造NP检测器, 可实现对目标的检测, 雷达对目标的检测概率PD为[5–6]

Mathematical equation(18)

式中：PFA虚警概率；d2为偏移系数。

Mathematical equation(19)

在此类检测器中, 偏移系数d2即为SINR, τ为雷达的检测门限, 通过求解SINR值可以建立雷达发射信号与雷达对目标检测概率之间的关系。

2 博弈中的多准则波形设计

2.1 联合多准则的博弈模型

在真实的战场中, 敌方的探测设备和干扰设备时刻等待着我方雷达开机, 有效雷达回波信号的质量变得非常有限, 为此, 最大可能提升雷达回波信号中所包含的信息量变得极为重要。为使雷达回波信号承载更多的探测信息, 同时减少敌方干扰机的影响, 雷达发射信号的波形选择尤为重要。为实现雷达的多功能化、多任务化, 这就要求所建立的博弈模型不仅仅是针对单一任务的雷达波形设计, 同时还要能够满足多种雷达任务的波形设计。

为了提升雷达系统的灵活性, (20)式在同一博弈模型中针对雷达的抗干扰性能、探测性能和检测识别性能等, 联合MI、SINR、MMSE建立了基于MSM(MI-SINR-MMSE, MSM)准则的博弈波形设计模型, 其目标函数为

Mathematical equation(20)

(20) 式中, a, b为FMI和FSINR的权重系数, 为了减少变量的数量, 令w=b/a, 通过控制w值可以调节FMI与FSINR的比重, 同时把FMMSE放在分母上, 这样通过最大化FMSM数值便可以得到满足多性能的最优雷达波形。把(7), (10), (15)式代入(20)式, 可得到MSM准则的频域表达式为

Mathematical equation(21)

从(21)式可以看出, 本文设计的MSM准则融合了MI、SINR、MMSE 3种准则, 综合考虑了雷达的多种性能, 其中MI、SINR与MSM的目标函数呈正相关, MMSE相反。基于以上考虑, 针对雷达方, 更大的MSM数值包含着更多的有用信息, 可通过设计雷达发射信号的波形提高MSM数值; 针对干扰方, 希望通过设计干扰信号的波形降低MSM数值, 为此两方形成了基于MSM准则的二元零和博弈。

把MSM准则运用在雷达与干扰之间的博弈对抗上, 假设先验信息已知, 干扰信号可以被我方雷达截获。雷达可通过设计发射信号的波形提升MSM值, 从而提升雷达回波信号的有效性, 通过(22)式设计雷达发射波形。

Mathematical equation(22)

针对干扰方, 可通过调整干扰信号的波形来降低MSM值, 以此降低雷达信号的有效性, 通过(23)式设计干扰波形。

Mathematical equation(23)

从(22)~(23)式可以看出, 雷达与干扰策略的代价函数相反, 利益完全冲突, 博弈双方构成了非合作的二元零和博弈。本文引入MMR算法分别求解(22)~(23)式, 通过该算法可得到满足其功率约束条件下的最优信号波形, 同时把该最优波形传递给对方, 重复上述过程, 经过多次迭代后该博弈达到均衡, 此时雷达与干扰的波形即为该博弈模型的最优解, 详细的博弈过程如算法1所示。

算法1  基于MSM准则的雷达博弈波形设计算法

输入: 雷达波形|S(fk)|02、干扰波形J(fk)0;

输出: 最优的雷达波形|S(fk)|2、干扰波形J(fk);

步骤1  初始化雷达、干扰信号波形

|S(fk)|2=|S(fk)|02, J(fk)=J(fk)0;

步骤2  最大化目标函数

Mathematical equation

步骤3  更新雷达信号波形

|S(fk)|2=|S*(fk)|2;

步骤4  最小化目标函数

Mathematical equation

步骤5  更新干扰波形J(fk)=J*(fk);

步骤6  重复步骤2~5, 直至|S(fk)|2、J(fk)保持不变, 或者达到设定的终止条件。

2.2 MMR算法求解信号波形

MMA算法与拉格朗日乘子法在结果上具有可替代性[9, 13–14], 为提升运算效率，更合理地进行资源分配, 本文在董军等[14]设计的MMR算法的基础上, 完善一些步骤, 设计了一种更完整的MMR算法。与MMA算法的不同之处在于, MMR算法需要预先给各个频带分配初始能量, 然后设计能量回收和能量重分配环节。能量回收是把对目标函数影响最小的频带所存储的能量回收, 然后在能量重分配环节把该能量分配到对目标函数影响最大的频带, 当所有重分配的能量都在最优的位置, 得到的信号波形也就是最优的信号波形。

将MMR算法运用在基于MSM准则的博弈波形设计上, 首先将目标函数离散化

Mathematical equation(24)

能量约束离散化，即

Mathematical equation

式中: Δf=W/K, fk=kΔf。

能量限制为Ps, 假设总能量分为了M份, 则每一份能量的值为Δ=Ps/M, 令

Mathematical equation

式中：um(k)表示分配第m份能量时, 频带fk对应的功率谱; a(k, m)表示分配第m份能量时, 频带fk对应杂波的功率谱密度与目标脉冲响应的能量谱方差之间的比值, 其余变量以此类推。

则各频带的互信息可表示为

Mathematical equation(25)

各频带的信干噪比可表示为

Mathematical equation(26)

各频带的最小均方误差可表示为

Mathematical equation(27)

将(25)~(27)式代入(22)式可得

Mathematical equation(28)

Mathematical equation(29)

(28) 式中, f(·)表示归一化处理, 此时MSM准则的目标函数(21)式可以写为

Mathematical equation(30)

MMR算法求解雷达波形的具体流程如算法2所示, 该算法分为能量回收和能量重分配2个流程。算法2要求预先给各个频带分配相同的能量, 即u(1)=u(2)=…=u(K), 同时确定能量约束Ps、能量总份数M、能量重分配份数P等。

在能量回收过程, 回收能量以Δ为单位, 针对所有频带fk, 找到Δ能量产生的最小Li(um(kmin), m)所对应的频带fkmin, 将此次的Δ能量从u(kmin)所在频带中抽离。下一轮能量回收前, 更新上一轮的能量, 然后找到下一轮中Δ产生的最小Li(um(k′min), m)所对应的频带fk′min, 并把能量从u(k′min)所在的频带抽离。重复上述过程, 直至把所要求的回收能量回收完毕。在能量重分配过程中, 以Δ为单位, 每次只分配Δ能量, 针对所有频带fk, 找到Δ能量产生的最大的Li(um(kmax), m)所对应的频带fkmax, 将此次的Δ能量分配到u(kmax)。下一轮能量分配前, 更新上一轮的能量, 然后找到在下一轮中Δ产生的最大Li(um(k′max), m), 并把能量分配到此时所对应的u(k′max), 重复上述过程, 直至把所要求的重分配能量分配完毕。

算法2   基于MSM准则的最大边缘重分配算法

输入: 雷达波形|S(fk)|02、干扰波形J(fk)0、能量约束Ps、能量总份数M、能量重分配份数P;

输出: 此条件下最优的雷达波形|S(fk)|best2;

步骤1  初始化雷达和干扰信号的波形

|S(fk)|2=|S(fk)|02, J(fk)=J(fk)0;

步骤2  能量回收步骤:

1) 开始回收第m个Δ能量;

2) 由|S(fk)|2, J(fk)计算Li(um(k), m);

3) 令|S(fk)|temp2=|S(fk)|2-Δ;

4) 由|S(fk)|temp2、J(fk)计算Ltemp(um(k), m);

5) 令ΔLi=Li(um(k), m)-Ltemp(um(k), m);

6) 对比所有频带的ΔLi, 找到最小值min(ΔLi)所对应的频带fkmin;

7) 令|S(fkmin)|2=|S(fkmin)|2-Δ, 即把此频带的Δ能量回收;

8) 更新雷达波形|S(fk)|2=|S(fkmin)|2;

9) 重复1)~8), 直到P份能量被回收完毕, 得到该条件下最优的|S(fk)|*2。

步骤3  能量重分配步骤:

1) 开始重分配第m个Δ能量;

2) 由|S(fk)|*2、J(fk)计算Li(um(k), m);

3) 令|S(fk)|temp2=|S(fk)|*2+Δ;

4) 由|S(fk)|temp2、J(fk)计算Ltemp(um(k), m);

5) 令ΔLi=Ltemp(um(k), m)-Li(um(k), m);

6) 对比所有频带的ΔLi, 找到最大值max(ΔLi)所对应的频带fkmax;

7) 令|S(fkmax)|2=|S(fkmax)|2+Δ, 即把Δ能量重分配到频带fkmax;

8) 更新雷达波形|S(fk)|*2=|S(fkmax)|2;

9) 重复1)~8), 直到P份能量被重分配完毕, 得到该条件下最优的|S(fk)|best2。

步骤4  输出最优雷达信号波形|S(fk)|best2。

3 仿真实验

假设某型雷达工作的中心频率为35 GHz, 发射信号的带宽为W=100 MHz, 假设雷达与干扰机的功率均为20 dB, 将整个频带划分为5个子频带, 每个子频带的宽度Δf=20 MHz, 定义目标脉冲响应为{σh2(fk)}={1.3, 3.0, 5.0, 7.0, 4.0}, 模拟起伏地杂波为{Scc(fk)} = {1.2, 2.0, 1.5, 1.0, 0.8}, 定义接收机噪声为{Snn(fk)} = {1.0, 1.0, 1.0, 1.0, 1.0}。定义能量分配份数M = 20 000, 能量重分配份数M*=M/R, R为大于零的正整数; 观测时间T=10 ms[4, 5, 14]。

取w=1, R=50, 固定雷达与干扰信号的功率为20 dBW, 按照算法1所述流程对MSM博弈模型进行仿真分析。图 2展示了MSM模型下, SINR在迭代周期内的变化情况。由图 2可知, 经过31次迭代该博弈达到均衡, 此时的SINR值为9.814 2 dB。

Thumbnail: 图2 Refer to the following caption and surrounding text. 图2

MSM模型下，SINR在迭代周期内的变化

图 3展示了MSM模型下, MMSE在迭代周期内的变化情况, 由图可知, 经过31次迭代该博弈达到均衡, 此时的MMSE值为2 026.057 93×10-4。

Thumbnail: 图3 Refer to the following caption and surrounding text. 图3

MSM模型下，MMSE在迭代周期内的变化

图 4展示了MSM模型下, MI在迭代周期内的变化情况, 由图可知, 经过31次迭代该博弈达到均衡, 此时的MI值为695.685×10-4 nat。在w=1, R=50的条件下, 该模型求解出的雷达信号最优的波形为[12.10, 3.85, 13.78, 34.80, 35.47];干扰信号最优的波形为[12.245, 0.005, 6.83, 37.61, 43.305]。

Thumbnail: 图4 Refer to the following caption and surrounding text. 图4

MSM模型下，MI在迭代周期内的变化

观察MSM准则可知, 权重w通过影响SINR与MI的比重, 间接导致(20)式中目标函数的变化, 进而影响信号的波形。图 5~7展示了在R=50, 权重w变化时, SINR、MMSE、MI的变化曲线。观察可知, 随着权重w的增加, 雷达的性能先逐步变差; 当权重w增加到3.4时, 到达拐点; 随着w的继续增加, 雷达性能开始变好, 但是雷达性能变化趋势较平缓。

Thumbnail: 图5 Refer to the following caption and surrounding text. 图5

权重w变化时，SINR变化曲线

Thumbnail: 图6 Refer to the following caption and surrounding text. 图6

权重w变化时，MMSE变化曲线

Thumbnail: 图7 Refer to the following caption and surrounding text. 图7

权重w变化时，MI变化曲线

由图 5~7可知, 在R=50的情况下, 权重w为0.1时, 雷达性能最优。通过仿真分析权重w分别为0.1, 1, 2的情况下, 重分配份数对雷达性能的影响, 结果如图 8~10所示。观察可知, 在R小于5时, 仿真结果出现了突变, 这是由于算法在设计过程中, 总能量被均分到各个频带, 在回收阶段当某一频带的能量被全部回收, 为确保后续结果的准确性, 停止继续回收, 就导致信号的能量回收不完全, 致使图 8~10中的SINR、MI、MMSE在R=5时出现突变。当R逐渐增大时, 可以看到雷达的性能趋于稳定。

Thumbnail: 图8 Refer to the following caption and surrounding text. 图8

R变化时，SINR变化曲线

Thumbnail: 图9 Refer to the following caption and surrounding text. 图9

R变化时，MMSE变化曲线

Thumbnail: 图10 Refer to the following caption and surrounding text. 图10

R变化时，MI变化曲线

图 11展示了多种准则多种参数下, 雷达接收端的SINR的变化曲线。从图 11可以看出, 对比基于SINR准则的博弈模型, 本文方法设计雷达波形的性能更优。当w=0.1, R=10时, 本文所设计的雷达波形性能最优, 博弈均衡时雷达接收端的SINR为10.11 dB, 基于SINR准则的模型设计雷达波形的SINR为9.59 dB。对比基于SINR准则的博弈模型, 本文方法设计雷达波形的SINR提升5.42%。

Thumbnail: 图11 Refer to the following caption and surrounding text. 图11

多种准则下，SINR对比曲线

图 12~13展示了多种准则下MMSE、MI的变化曲线。对比可知, 本文方法设计模型的性能优于基于单准则的博弈模型。本文方法设计的雷达波形在w=0.1, R=10时性能最优, 对比基于单准则的博弈模型, MI提升0.051 2%;MMSE变化不大, 性能略有提升。

Thumbnail: 图12 Refer to the following caption and surrounding text. 图12

多种准则下，MMSE对比曲线

Thumbnail: 图13 Refer to the following caption and surrounding text. 图13

多种准则下，MI对比曲线

图 14展示了杂波环境下各子频带的功率谱分布情况; 图 15~16展示了不同博弈模型达到均衡时, 雷达与干扰信号各频带的功率分配情况。对比图 14中目标杂波比在各个频带的分布, 可以看出通过基于单准则的博弈模型所设计信号的功率分配与目标杂波比的分配趋势一致, 目标杂波比对基于单准则的波形设计影响较大。

Thumbnail: 图14 Refer to the following caption and surrounding text. 图14

杂波环境各频带功率谱分布

Thumbnail: 图15 Refer to the following caption and surrounding text. 图15

雷达信号各频带功率分配

Thumbnail: 图16 Refer to the following caption and surrounding text. 图16

干扰信号各频带功率分配

对比图 14中杂波在各个频带的分布, 可以看出本文方法设计信号的功率分配与图 14中杂波的分配趋势一致。从图 15~16可以看出, 本文方法设计的信号在杂波最多的频带2分配最小的功率, 在杂波最少的频带5分配最高的功率, 可以看出本文方法设计波形的功率分配受杂波影响较大。

设置雷达工作的中心频率为35 GHz, 发射信号带宽为W=100 MHz, 结合雷达各频带的功率分配情况, 设计了图 17所示的雷达功率谱曲线。

Thumbnail: 图17 Refer to the following caption and surrounding text. 图17

雷达信号的功率谱设计

图 18~19展示了干扰总功率从0~30 dBW变化时, 雷达和干扰各频带的功率分配情况。可以看出, 随着干扰总功率增大时, 雷达信号的频带5一直分配到最多的功率, 频带2在干扰总功率为12 dBW出现突变, 这是噪声、干扰、目标ESD共同作用的结果, 随后各频带功率分配基本维持稳定。随着干扰总功率增大, 干扰信号各频带的功率持续增加, 功率分配相对稳定。

Thumbnail: 图18 Refer to the following caption and surrounding text. 图18

干扰总功率变化时，雷达的功率分配

Thumbnail: 图19 Refer to the following caption and surrounding text. 图19

干扰总功率变化时，干扰的功率分配

图 20展示了在不同策略下, 干扰总功率从0~30 dBW变化时, 雷达检测概率的变化情况。经过对比可以看出, 本文方法设计雷达波形的性能最优。当干扰总功率从0~30 dBW变化时, 对比SINR准则, 本文方法设计雷达波形的检测概率最大提升11.74%, 平均提升3.99%。

Thumbnail: 图20 Refer to the following caption and surrounding text. 图20

不同策略下雷达检测概率变化

本文方法的计算量和复杂度主要体现在比较耗费资源的多层循环和乘法运算。假设把总频带划分为N个子频带, 经过F次迭代后算法达到收敛, 能量总份数为M、能量重分配份数为P。经过对算法以及代码的分析, 本文提出的基于MSM准则的波形设计算法的计算量为T(N, P, F)=312NPF+4PF+2NF+5N+4, 算法复杂度为O(PNF); 文献[5]中基于SINR准则的对比算法的计算量为T(N, F)=48N2F+30NF+5N+2, 该算法复杂度为O(N2F); 文献[9]中用MMA算法求解基于MI准则的对比算法的计算量为T(M, N, F)=56 MNF+2MF+4NF+2F+5N+2, 算法复杂度为O(MNF); 用MMA算法求解文献[11]中基于MMSE准则的对比算法的计算量为T(M, N, F)=60MNF+2MF+4NF+2F+5N+2, 算法的复杂度为O(MNF); 无博弈策略下得到雷达和干扰波形的计算量为T(N)=4N+2, 复杂度为O(N)。对比可知, 能量总份数M、能量重分配份数P分别影响基于单准则、基于MSM准则的波形设计算法的复杂度, 由于P远小于M, 可知本文方法的复杂度小于文献[9, 11]中的对比算法的复杂度。

本文提出的波形设计算法是一个迭代算法, 文献[4, 5]的相关推导以及多次实验证明了该算法的收敛性; 该算法设置了灵活的迭代终止条件, 保障了一个高可靠性的停止准则; 得益于MMR算法的能量重分配策略, 减少了循环次数, 确保了该算法的快速收敛; 仿真分析可得, 在N=5, P=500时, 本文方法在F=31满足停止准则, 达到收敛, 共用时0.58 s; 同时得益于MSM算法自身的初始化步骤, 使得该算法对输入的波形具有很好的鲁棒性; 该算法的复杂度主要来自多次循环和乘法运算, 在不同实验中, 输入相同情况下, 能保障输出相同的结果, 确保了该算法的稳定性与一致性。总的来说, 在大多数合理输入条件下, 该算法可以快速、准确地收敛到一个满足停止准则的最优解, 是一个可靠的迭代算法。

4 结论

针对基于单一准则的雷达波形抗干扰能力弱、环境适应性差以及导致雷达性能失衡的问题，本文把SINR、MI、MMSE进行加权融合，提出了博弈条件下基于MSM准则的雷达波形设计方法。实验结果证明，对比基于单准则的博弈模型，MSM模型可以提升博弈均衡时雷达接收端的SINR值，进而提升雷达对目标的检测概率，提高雷达的探测性能；同时可以提升雷达回波信号的互信息，从而提升雷达回波信号的有效性，提升雷达的检测识别性能。除此之外，本文设计的博弈模型融合了3种准则，可以提高雷达系统的整体性能和灵活性，实现雷达的多功能化、多任务化。

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All Figures

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雷达发射接收信号模型
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MSM模型下，SINR在迭代周期内的变化
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MSM模型下，MMSE在迭代周期内的变化
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MSM模型下，MI在迭代周期内的变化
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权重w变化时，SINR变化曲线
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权重w变化时，MMSE变化曲线
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权重w变化时，MI变化曲线
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R变化时，SINR变化曲线
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R变化时，MMSE变化曲线
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R变化时，MI变化曲线
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多种准则下，SINR对比曲线
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多种准则下，MMSE对比曲线
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多种准则下，MI对比曲线
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杂波环境各频带功率谱分布
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雷达信号各频带功率分配
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干扰信号各频带功率分配
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雷达信号的功率谱设计
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干扰总功率变化时，雷达的功率分配
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干扰总功率变化时，干扰的功率分配
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不同策略下雷达检测概率变化
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