Open Access
Issue
JNWPU
Volume 38, Number 5, October 2020
Page(s) 1018 - 1024
DOI https://doi.org/10.1051/jnwpu/20203851018
Published online 08 December 2020

© 2020 Journal of Northwestern Polytechnical University. All rights reserved.

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阵列的综合问题属于多参数、非线性优化问题,引力搜索算法(gravitational search algorithm, GSA)[1-2]由于具有控制参数少等特点,在众多的优化算法[1-6]中脱颖而出,在天线设计及综合领域得到了广泛应用。文献[7]使用GSA来设计偶极子线性阵,获得了期望的方向图;文献[8]将GSA用于直线阵中,有效降低了线阵的旁瓣电平;文献[9]将GSA用在同心圆环阵列中,在保持零功率波束宽度(first null beamwidth, FNBW)不变的同时,很大程度地降低了阵列的峰值旁瓣电平(peak sidelobe level, PSLL);文献[10]将一种改进算法用于综合圆形和同心圆环阵列,并且改变阵元个数,用改进算法和GSA分别实现阵列的综合,最后利用t-Atest来计算分析仿真结果,结果证明了改进算法良好的优化效果。

尽管GSA在天线综合中有着成功的应用,但是由于算法的适应度函数对惯性质量具有累积效应,迭代后期,在万有引力的作用下,种群中粒子惯性质量的差距变得越来越小,粒子所受的引力就会被中和,移动到最优位置的速度会大幅下降,从而使得GSA不能有效地找到问题的最优解,算法的优化性能受到很大程度削弱。针对上述问题,文献[11]提出了一种改进算法(gbest-guided gravitational search algorithm, GGSA),在GSA中将具有最优适应度值的个体储存起来用于速度的更新,最优个体所带来的“外力”促使粒子更快地朝着最优位置移动,算法在开采阶段的收敛速度得以提高,但是GGSA在提高算法开采能力的同时,种群的多样性遭到破坏,算法的探索能力被削弱,针对这个问题,本文定义了“精英粒子”,并在GGSA的实现过程中加入了这类粒子的影响,通过设计合理的最优粒子gbest以及精英粒子ep的加权系数可以更好地平衡算法的探索和开采能力;其次,粒子最优位置的产生除了直接受到速度影响外,还间接受到引力的影响,而衰减因子对引力的影响呈指数级,算法不同迭代阶段需要不同大小的衰减因子来平衡其速度和精度,综合考虑上述因素,设计了一种自适应衰减因子。把精英粒子、自适应衰减因子用于GSA中,提出了自适应引力搜索算法(adaptive gravitational search algorithm, AGSA), 论文中将AGSA和GGSA[11]用于圆环阵列的优化过程中,进一步验证了AGSA的有效性。

1 阵列方向图综合

同心圆环阵列中,假设阵元为无方向性天线,则远区辐射场的阵因子[12]可以表示为

式中:M为圆环数目;Ni是第i个圆环上阵元的个数;Iil, αil, φil表示第i个圆环上第l个阵元的激励幅度、相位以及方位角; ρi表示对应圆环的半径, θφ代表子午角和方位角。

1.1 均匀同心圆环阵列适应度函数

阵元均匀分布的同心圆环阵列, 以降低方向图的峰值旁瓣电平和零功率波束宽度为优化目标, 因此根据优化目标确定的适应度函数可以设置如下

式中:LMSL, LESL为实际方向图和期望方向图的最大旁瓣电平; AFNBW以及EFNBW是零功率点波束宽度的实际值以及期望值。α, β是加权系数。

1.2 稀布圆环阵列适应度函数

稀布同心圆环阵列的设计过程中, 为了减小互耦的影响, 要求同一圆环上相邻阵元弧向间距不小于0.5λ, 对电流激励及阵元位置同时进行优化。以降低PSLL和FNBW为优化目标, 适应度函数设置如下

式中:d, dmin为阵元间距以及最小间距, 在优化过程中, 如果LMSL < LESL, AFNBW < EFNBW, d>dmin, 则(2)式、(3)式对应的加权系数为0。为防止出现适应度函数值等于0的情况, 把最小值问题可以转化为(4)式的最大值问题

2 自适应引力搜索算法

2.1 自适应衰减因子α(t)

本节中设计了一种随迭代次数t变化的自适应衰减因子αi(t):定义第i个粒子的αi(t)的变化符合高斯分布, 其概率密度分布函数随迭代次数的更新如下式所示

式中:σ2, u(t)是αi(t)的方差和均值; 根据αi(t)计算的引力常数G(t)要控制在一定的范围内, 否则会对算法的探测能力和开采能力的平衡带来很大影响, 本文中G(t)的范围要满足

记录满足(7)式的u(t), 计算其均值um, 再将um代入(6)式来更新u(t)。

2.2 粒子记忆能力增强

GSA中, 第i个粒子第t+1次迭代时, 第d维的速度为

文献[11]的GGSA算法中, 最优粒子gbest对粒子i施加的外力如下

Xi, Xopt是种群中第t次迭代时的第i个粒子以及最优粒子, Di是二者之间的距离。本节中定义满足(10)式的粒子为精英粒子(elite particles, ep)

为进一步平衡算法搜索解空间探索能力和收敛于最优解的开采能力, 规定精英粒子数量Kep(t)随着迭代次数逐步减小:

定义ep对粒子i施加的外力

将这2类粒子对粒子i施加的外力加入GSA中, 得到增强记忆以后的速度如下式

c1c2分别是最优粒子和精英粒子对个体i施加外力影响的加权系数, 如果c1>c2, 则算法的开采能力要占上风, 否则探测能力要强于开采能力, 因此在算法的不同阶段, c1c2的取值要符合算法的迭代特点, 因此本节中对这2个系数定义如下

2.3 自适应引力搜索算法实现步骤

α(t)以及重新定义的vid (t+1)用于GSA中, 得到AGSA, 其实现步骤如下:

Step1:种群初始化;

Step2:最优粒子gbest以及精英粒子ep的选择;

1) 根据(4)式、(10)式计算fiti(t)(i=1, 2, …, N), 从中选择gbest、ep;

2) 根据式(13)计算速度加权系数c1, c2

Step3:计算GSA中粒子的惯性质量;

Step4:引力及加速度计算;

1) 衰减因子均值u(t)初始值设为15, 计算满足式(5)的自适应衰减因子αi(t);

2) 利用αi(t)计算引力常数G(t), 更新引力、加速度大小。

Step5:计算GSA中的速度和位置。

Step6:均值um的计算。

将满足(7)式的u(t)进行保存, 根据其均值um, 利用(6)式来更新u(t)的值。

Step7:若满足停止准则, 则算法终止, 输出最优结果; 否则, 重复step2-step6。

注: Step3-Step5中惯性质量、引力、加速度等的计算在文献[1]中均有具体公式。

3 算法的验证及分析

3.1 测试函数的性能分析

为进一步明确引力常数衰减因子α对GSA性能的影响, 使用CEC2005中测试函数[1]对算法进行基准测试。G0=100, α取10~100时, 对算法独立运行30次, 篇幅的原因, 对其中3个函数的测试结果进行具体分析。

1) 图 1是单峰测试函数F1的优化结果, 图 1a)图中, 在α=40时, 函数的求解精度最高; 图 1b)图中, 随着α从10增加到100的过程中, 求解精度先提高, 后迅速下降。

2) 图 2中是F2的优化结果, α从10增加到100的过程中, 求解精度先提高, 后迅速下降; 在α=30时, 函数的求解精度最高。

3) 对于高维度多峰测试函数F10, 从图 3a)中可以判断, α取40时优化效果最佳; 图 3b)中, α从10增加到40时, 求解精度提高, 40~60的过程中精度没有明显变化, 从60增加到70的过程中, 最优解的精度急剧下降。

综上, α值的合理增大可以拓宽算法的搜索空间, 提高优化性能; 但取值过大时, GSA会迅速收敛到局部解, 求解质量下降。由于算法不同迭代阶段对探索能力以及开采能力的要求不同, 算法迭代初期, 需要强的探索能力来拓展搜索空间以避免陷入局部最优; 在迭代后期, 算法对开采能力的需求超过探索能力, 开采能力越强, 算法收敛于最优解的速度就越快。因此, 寻找适合算法不同迭代阶段的α值至关重要。

算法不同迭代阶段对衰减因子的需求变化符合高斯分布的特点, 因此论文中设计了一种满足高斯分布变化的衰减因子, 且通过上述不同衰减因子时算法性能的影响分析, 以及反复实验确认, 论文中的衰减因子在[0, 40]之间取值, 超出这个范围要重新对其进行计算。

thumbnail 图1

测试函数F1的进化曲线

thumbnail 图2

测试函数F2的进化曲线

thumbnail 图3

测试函数F10的进化曲线

3.2 均匀同心圆环阵列天线优化

将AGSA和文献[11]中的GGSA用于天线优化, 2种算法参数设置如表 1所示。

本节的目标是设计一个37元均匀分布的同心三圆环阵列, 为了减小互耦的影响, 同一圆环上相邻阵元、相邻圆环之间的距离均为0.5λ; 电流幅度和相位作为优化变量。目标中笔状波束的PSLL不超过-30 dB, AFNBW为2*30°, (2)式中, α=0.6, β=0.4。

图 4a)4d)是AGSA的优化结果, PSLL和FNBW均优于GGSA算法的结果。

收敛曲线的对比图(见图 4e))中, AGSA的收敛速度一直快于GGSA, 适应度达到65时, 前者只需要800次迭代, 后者则要2 000次; 当迭代次数为1 400次时, AGSA的适应度值稳定在95, 超过GGSA约30, 说明AGSA能以更快的收敛速度获得更小的误差, 得到更理想的方向图; 图 4f)是均匀圆环阵的分布图。表 2中是方向图详细的结果, 包括了方向图的主瓣波束宽度和旁瓣电平, AGSA的优化结果和GGSA相比, E面和H面的峰值旁瓣电平分别降低了5.1 dB和1.8 dB, 零功率波束宽度的展宽变窄, 2种算法的结果相差6.7°。

表1

GGSA和AGSA控制参数设置

thumbnail 图4

2种算法综合均匀同心圆环阵的结果

表2

均匀同心圆环优化结果对比

3.3 稀布同心圆环阵列优化

设计一个稀布同心圆环阵列。为了减小互耦的影响, 要求同一圆环上相邻阵元弧向间距不小于0.5λ, 阵元个数N=37, 相邻圆环之间径向间距d=0.65λ; 对电流激励及阵元位置同时进行优化。笔状波束期望PSLL不超过-30 dB, 半波束FNBW为20°。(3)式中, α=γ=0.4, β=0.2, 2种算法优化的结果如图 5所示。算法迭代3 500次的方向图结果如图 5a5d)所示, AGSA的优化方向图更接近期望方向图。

图 5e)中, 算法迭代约800次时, AGSA和GGSA性能相当, 随着迭代次数增加, 前者的收敛速度明显快于后者(曲线更陡峭); 迭代超过2 000次, AGSA的性能稳定, 适应度值达到90以上, 而GGSA在优化过程中, 经常会陷入局部最优, 优化性能不变, 且经过3 500次迭代后, 其适应度值为70, 远小于AGSA, 说明和GGSA相比, AGSA在收敛速度和优化准确度方面均有大幅度提高; 图 5f)是AGSA优化得到的阵列分布图。

thumbnail 图5

2种算法综合稀布同心圆环阵列的结果

4 结论

针对GSA在迭代后期惯性质量的累积效应对算法性能带来的影响, 提出了一种自适应引力搜索算法(AGSA)。首先设计了一种随迭代次数变化, 符合高斯分布的自适应衰减因子α(t), 当前迭代时α(t)的均值会受之前衰减因子的影响, 将α(t)用于算法中, 提高了算法的收敛速度; 同时为了改善文献[11]中GGSA开采能力增强对探索能力的削弱, 在速度的变化过程中, 增加了精英粒子的影响, 加强了种群中粒子对速度的全局记忆能力。为了验证AGSA的性能, 将其用于2种不同类型的同心圆环阵列的综合过程中, 并且和GGSA的结果进行比较, 仿真结果验证了AGSA收敛速度提高的同时, 优化精度也比GGSA更高。和GGSA相比, AGSA的计算复杂度有一定程度增加, 且考虑到互耦效应, 论文中的仿真实验是在阵元间距限定的条件下进行的, 因此对于阵元间距要求小的大型面阵天线, 要综合评估AGSA的性能和计算复杂度。

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All Tables

表1

GGSA和AGSA控制参数设置

表2

均匀同心圆环优化结果对比

All Figures

thumbnail 图1

测试函数F1的进化曲线

In the text
thumbnail 图2

测试函数F2的进化曲线

In the text
thumbnail 图3

测试函数F10的进化曲线

In the text
thumbnail 图4

2种算法综合均匀同心圆环阵的结果

In the text
thumbnail 图5

2种算法综合稀布同心圆环阵列的结果

In the text

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