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All issues Volume 38 / No 6 (December 2020) JNWPU, 38 6 (2020) 1361-1369 Full HTML
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Issue
JNWPU
Volume 38, Number 6, December 2020
Page(s) 1361 - 1369
DOI https://doi.org/10.1051/jnwpu/20203861361
Published online 02 February 2021

© 2020 Journal of Northwestern Polytechnical University. All rights reserved.

Licence Creative CommonsThis is an Open Access article distributed under the terms of the Creative Commons Attribution License (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0), which permits unrestricted use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original work is properly cited.

自Zadeh[1]提出模糊集之后, 学者们陆续提出了各类型模糊集拓展形式, 例如, 区间模糊集[2]、直觉模糊集[3]、Type-2模糊集[4]等。Torra等[5-6]认为专家在做决策时容易出现犹豫不决的现象, 故提出了犹豫模糊集的概念, 更全面地表达决策信息。在犹豫模糊集定义给出之后, 许多学者研究了大量犹豫模糊集信息的集结算法[7-10]。虽然犹豫模糊集能够表达专家犹豫不决的态度, 但对每个犹豫值的可信程度没有定量描述, 故Zhang等[11]提出了概率犹豫模糊集的概念, 它通过概率的大小描述每个犹豫值的可信程度, 使得决策信息更加全面、有效, 并针对决策问题, 提出了概率犹豫模糊加权平均算子和加权几何算子。武文颖等[12]定义了概率犹豫模糊数的Algebra运算和Einstein运算, 提出了概率犹豫模糊数的Algebra集成算子和Einstein集成算子; 梁玉英[13]将概率犹豫模糊元和Frank运算相结合, 提出了概率犹豫模糊Frank加权平均算子。Hamacher积与Hamacher和是一种范围更广的t-模和t-余模, 且Hamacher积与Hamacher和可通过自身参数实现运算的灵活性[14]。本文将Hamacher积与Hamacher和拓展到概率犹豫模糊数中, 提出相应集结算子, 具有重要的理论意义和实用价值。另外, Brauersan等[15-17]提出的MULTIMOOR方法是从比率法、全乘模型、参照点法这3个角度对方案进行比较和选择, 方法简单、易于理解。

为此, 本文给出了基于Hamacher范数的广义概率犹豫模糊MULTIMOORA决策方法。首先, 总结了概率犹豫模糊集的相关概念; 其次, 定义了概率犹豫模糊Hamacher运算, 并研究他们的运算性质; 在此基础上, 定义了概率犹豫模糊Hamacher加权平均算子和加权几何算子, 给出了集成算子的计算公式, 并研究了其性质; 最后, 结合MULTIMOORA方法对方案进行排序。通过实例分析验证算法的可行性和有效性。

1 基础知识

定义1  令X={x1, …, xn}为一个给定的非空集合, 在上的一个概率犹豫模糊集(probabilistic hesitant fuzzy set, PHFS)Hp定义为

式中:h(px)={(h(k), p(k))|k=1, 2, …, l}为概率犹豫模糊元(probabilistic hesitant fuzzy element, PHFE), h(k)∈[0, 1]表示元素x属于Hp的隶属度, p(k)∈[0, 1]表示隶属度h(k)的可信概率, l表示h(px)中隶属度的个数。简记h(px)=h(p), 同时定义h(p)的补集为[11]

为了便于比较分析多个概率犹豫模糊元的大小, 规定如下:

注1  所有的概率犹豫模糊元h(p)={(h(k), p(k))|k=1, 2, …, l}中的元素h(k)按照由小到大顺序排列, 其中(h(k), p(k))表示第k大的隶属度。

注2  当h1(p), h2(p)中元素个数不相等时, 可以在个数较少的PHFE中增加元素个数, 使得h1(p), h2(p)的元素个数相同。

定义2  对任意概率犹豫模糊元h(p)={(h(k), p(k))|k=1, 2, …, l}, 其得分函数s(h)和偏差函数φ(h)定义为[11]

显然, s(h), φ(h)∈[0, 1]。

定义3  已知任意2个概率犹豫模糊元hi(p)={(hi(k), pi(k))|k=1, 2, …, l}, i=1, 2, 则[11]

当s(h1)>s(h2)时, 则h1≻h2;

当s(h1)=s(h2)时, 则

1) 当φ(h1) < φ(h2)时, 则h1≻h2;

2) 当φ(h1)=φ(h2)时, 则h1~h2;

3) 当φ(h1)>φ(h2)时, 则h1≺h2。

定义4  已知任意2个概率犹豫模糊元hi(p)={(hi(k), pi(k))|k=1, 2, …, li}(i=1, 2), 称

为概率犹豫模糊元h1(p)与h2(p)间的距离, 参数α, β, γ∈[0, 1]是为了防止大数吃小数。

定理1  已知任意2个概率犹豫模糊元hi(p)={(hi(k), pi(k))|k=1, 2, …, li}(i=1, 2), 则这2个概率犹豫模糊元间的距离满足下列性质:

1) 0≤d(h1(p), h2(p))≤1;

2) d(h1(p), h2(p))=0⇔h1(p)=h2(p);

3) d(h1(p), h2(p))=d(h2(p), h1(p))

4) d(h1(p), h2(p))≤d(h1(p), h3(p))+ d(h3(p), h2(p))

证明   1)非负性的证明:

, 且s(hi), φ(hi)∈[0, 1], α, β, γ∈[0, 1], 显然有0≤d(h1(p), h2(p))≤1。

2) 自反性的证明:

充分性:

必要性:

3) 对称性显然成立;

4) 三角不等式性的证明:

2 基于Hamacher范数的广义概率犹豫模糊集成算子及其性质

2.1 基于Hamacher型的概率犹豫模糊运算法则

在概率犹豫模糊运算中, 需要计算概率犹豫模糊元中概率的乘积, 增加了计算的难度。对此, 武文颖等[12]提出了改进的标准化概率, 并验证了其有效性。在此基础上, 本文给出基于Hamacher型的概率犹豫模糊运算法则。

定义5  设hi={(hi(k), pi(k))|k=1, 2, …, l}, i=1, 2和h(p)={(h(k), p(k))|k=1, 2, …, l}均为PHFE, γ∈(0, +∞), λ>0, 基于Hamacher型的概率犹豫模糊运算法则如下:

式中, 。

定理2  设h1(p)={(h1(k), p1(k))|k=1, 2, …, l}和h2(p)={(h2(k), p2(k))|k=1, 2, …, l}为任意2个PHFE, 则h1(p)⊕h2(p), h1(p)⊗h2(p), λh(p), hλ(p)均是PHFE。

2.2 广义概率犹豫模糊Hamacher加权平均算子

定义6  已知任意一组概率犹豫模糊元hi(p)={(hi(k), pi(k))|k=1, 2, …, l}, i=1, 2, …, n, 权重向量w=(w1, w2, …, wn)T满足wi∈[0, 1], 1。若GPFHWA(h1(p), h2(p), …, hn(p)) (wihi(p)), 则称GPFHWA(h1(p), …, hn(p))为广义概率犹豫模糊Hamacher加权平均算子, 简称GPFHWA算子。

定理3  已知任意一组概率犹豫模糊元hi(p)={(hi(k), pi(k))|k=1, 2, …, l}, i=1, 2, …, n, 权重向量为w, 则运用GPFHWA算子得到的集成结果为PHFE, 且有

式中, 。

证明  1)运用数学归纳法证明公式(1)成立。当n=2时, 有

假设当n=m时, 公式(1)成立。则当n=m+1时

由数学归纳法可知, 公式(1)成立。

2) 现证明GPFHWA(h1(p), h2(p), …, hn(p))为PHFE。

记GPFHWA(h1(p), h2(p), …, hn(p))算子中第k大隶属度为多元函数g(h1(k), …, hn(k)), 令 , 则

上式表明隶属度函数g(h1(k), …, hn(k))的单调性与函数f(h1(k), …, hn(k))单调性一致。

对 等式两边取对数, 即

对上式两边计算关于hi(k), i=1, 2, …, n的偏导数, 整理得

因此, g(h1(k), …, hn(k))具有单调非降性。当hi(k)∈[0, 1]时, 则有g(h1(k), …, hn(k))∈[0, 1]。

另外 成立。综上, GPFHWA(h1(p), h2(p), …, hn(p))为PHFE。

定理4  已知hi(p)={(hi(k), pi(k))|k=1, 2, …, l}为PHFE, w为相关的权重向量, 则GPFHWA算子满足下述性质:

1) 当∀i, hi(p)=h(p)={(h(k), p(k))|k=1, 2, …, l}, 则GPFHWA(h1(p), …, hn(p))=h(p);

2) 设ai(p)={(ai(k), qi(k))|k=1, 2, …, l}, i=1, …, n为另一组PHFE, 当∀i, hi(k)≤ai(k), pi(k)≤qi(k), 则

3) 令 , , 有h-(p)≤GPFHWA(h1(p), …, hn(p))≤h+(p)。

4) 置换不变性:设h′i(p)是hi(p)(i=1, …, n)的任意一个置换, 则

证明:

1) 由于∀i, hi(p)={(h(k), p(k))|k=1, 2, …, l}, 且 成立, 则

2) 在证明定理4时, 已证第k大隶属度g(h1(k), …, hn(k))为单调非降性, 故当∀i, hi(k)≤ai(k)时, 有g(h1(k), …, hn(k))≤g(a1(k), …, an(k)); 当pi(k)≤qi(k) i=1, 2, …, n时, ; 则GPFHWA (h1(p), …, hn(p))的记分函数值小于GPFHWA (a1(p), …, an(p))的记分函数值, 由定义3可知, GPFHWA(h1(p), …, hn(p))小于GPFHWA(a1(p), …, an(p))。

3) 根据GPFHWA(h1(p), …, hn(p))的单调非降性和幂等性可知

4) 置换不变性:由性质1知GPFHWA(h1(p), 满足置换不变性。

2.3 广义概率犹豫模糊Hamacher加权几何算子

定义7  已知任意一组概率犹豫模糊元hi(p)={(hi(k), pi(k))|k=1, 2, …, l}, i=1, 2, …, n, 权重向量w=(w1, w2, …, wn)T满足wi∈[0, 1], 1。若GPFHWG(h1(p), …, hn(p)) , 则称GPFHWG(h1(p), …, hn(p))为广义概率犹豫模糊Hamacher加权平均算子, 简称GPFHWA算子。

定理5  已知任意一组概率犹豫模糊元hi(p)={(hi(k), pi(k))|k=1, 2, …, l}, i=1, 2, …, n, 权重向量为w, 运用GPFHWG算子得到的集成结果仍为PHFE, 且有

定理6  已知任意一组概率犹豫模糊元hi(p)={(hi(k), pi(k))|k=1, 2, …, l}, i=1, 2, …, n, 权重向量为w, 则GPFHWG(h1(p), …, hn(p))满足幂等性、单调非降性、有界性、置换不变性。

定理5和定理6的证明思路与定理3和定理4的证明思路基本一致。

3 决策应用

3.1 决策方法

决策问题的方案集B={bi|i=1, …, m}, 属性集C={cj|j=1, …, n}, 属性权重向量w=(wj|j=1, …, n), 满足0≤wj≤1, 。决策者用概率犹豫模糊元hij (p)={(hij(k), pij(k))|k=1, 2, …, l}表示方案bi关于属性cj的属性值, 得到初始决策矩阵H=(hij(p))m×n。

下面, 将广义概率犹豫模糊Hamacher集成算子和MULTIMOORA方法相结合, 提出一种基于Hamacher范数的广义概率犹豫模糊MULTIMOORA决策方法。具体步骤如下:

Step 1   根据指标性质, 将初始决策矩阵H标准化处理, 得到标准决策矩阵H=(hij(p))m×n, 这里hij(p)={(hij(k), pij(k))|k=1, 2, …, l}, hij(k)= ; D1表示效益型属性集合, D2表示成本型属性集合。

Step 2   将矩阵H每行看作一组概率犹豫模糊元, 分别采用GPFHWA算子和GPFHWG算子集成处理, 对方案bi, 令ui1=GPFHWA(hi1, hi2, …, hin), ui2=GPFHWG(hi1, …, hin)。

Step 3   应用MULTMOOR方法进行评价

1) 基于比率法对备选方案进行评价:ri1=s(ui1)(i=1, …, m), 其中s(ui1)表示ui1的得分函数值, ri1越大方案越优;

2) 基于全乘模型对各方案进行评价:

ri2=s(ui2)(i=1, …, m), 其中s(ui2)表示ui2的得分函数值, ri2越大方案越优;

3) 基于参照点法对各方案进行评价:ri3= , 其中 。ri3越小方案越优。

将比率法x1、全乘模型x2和参照点法x3作为评价属性, 建立决策矩阵R, 并将矩阵R标准化处理, 得到标准化决策矩阵R

式中, 当j=1, 2时, ; 当j=3时, 。

在此基础上, 方案bi的综合评价值为:Ei= 。Ei值越大, 对应的方案越优。

3.2 决策实例

以文献[18-19]中的实例为研究对象, 专家对4位候选者bi(i=1, 2, 3, 4)进行面试, 评价指标分别是计算能力c1、学术能力c2和英语能力c3, 它们均为效益型指标, 指标权重向量为w=(0.39, 0.26, 0.35), 评估结果用概率犹豫模糊集的形式表示, 见表 1所示。

表1

决策矩阵

Step 1   各方案集结:分别应用GPFHWA算子和GPFHWG算子得到候选人bi(i=1, 2, 3, 4)的综合属性信息ui1, ui2, 其中参数γ=0.5。

Step 2   应用MULTMOOR方法进行评价

1) 基于比率法的4位候选者评价:r11=0.675, r21=0.609, r31=0.588, r41=0.584;

2) 基于全乘法的4位候选者评价:r12=0.641, r22=0.553, r32=0.577, r42=0.557;

3) 基于参照点法的4位候选者评价:r13=0.011, r23=0.044, r33=0.031, r43=0.055;

建立决策矩阵R, 再获得标准决策矩阵R

综合属性值分别为:E1=1;E2=0.175;E3=0.292;E4=0.018;根据Ei值的大小对4位候选者的面试结果进行排序, 即b1≻b3≻b2≻b4。

3.3 参数γ的影响

表 2给出了γ=0.3, 0.8, 1, 2, 10, 15时方案的综合属性值和排序结果, 从表 2可以看出, 虽然参数γ的取值不同, 但是方案的排序保持不变, 表明该方法具有非常好的稳定性。

表2

在不同参数γ下方案综合属性值和排序

3.4 与其他方法比较

为了验证本文方法的有效性, 将该方法与文献[18-19]的实验结果进行比较。其中, 文献[18]在定义模糊熵、犹豫熵和总熵的基础上, 结合考虑决策者偏好满意度公式和TOPSIS方法; 文献[19]提出了基于关联系数的概率犹豫模糊多属性决策模型。表 3给出了基于3种方法的方案排序结果。

表3

3种方法的方案排序结果

从表 3可以看出, 本文方法与文献[18]和文献[19]的排序结果一致。该方法较文献[18-19]的优势在于:①本文方法的计算过程简单且易于理解, 能够从多个角度对方案进行比较和选择; ②文献[18]定义了正、负理想概率犹豫模糊集, 理想方案在现实问题中很难实现, 且在概率犹豫模糊集中定义的合理性还有待解决; ③文献[19]中2个概率犹豫模糊集间的相关系数计算过程复杂且耗时。

4 结论

针对概率犹豫模糊信息决策问题, 提出了基于Hamacher范数的广义概率犹豫模糊MULTIMOORA决策方法。首先, 将Hamacher型三角模和余模推广到概率犹豫模糊数中, 定义了概率犹豫模糊数Hamacher运算, 并探讨了概率犹豫模糊数Hamacher运算的性质; 在此基础上, 提出了GPFHWA算子和GPFHWG算子, 并研究了其性质; 最后, 通过MULTIMOORA方法对各方案进行比较和选择。在研究内容上, 扩展了Hamacher算子及其应用范畴, 方案排序集结了比率系统法、全乘法、参照点法, 使得结果更加合理, 丰富了概率犹豫模糊决策理论和方法。仿真实验表明了集成方法的有效性和可行性。

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表1

决策矩阵

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表2

在不同参数γ下方案综合属性值和排序

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表3

3种方法的方案排序结果

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