Open Access
Issue
JNWPU
Volume 38, Number 6, December 2020
Page(s) 1361 - 1369
DOI https://doi.org/10.1051/jnwpu/20203861361
Published online 02 February 2021

© 2020 Journal of Northwestern Polytechnical University. All rights reserved.

Licence Creative Commons
This is an Open Access article distributed under the terms of the Creative Commons Attribution License (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0), which permits unrestricted use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original work is properly cited.

自Zadeh[1]提出模糊集之后, 学者们陆续提出了各类型模糊集拓展形式, 例如, 区间模糊集[2]、直觉模糊集[3]、Type-2模糊集[4]等。Torra等[5-6]认为专家在做决策时容易出现犹豫不决的现象, 故提出了犹豫模糊集的概念, 更全面地表达决策信息。在犹豫模糊集定义给出之后, 许多学者研究了大量犹豫模糊集信息的集结算法[7-10]。虽然犹豫模糊集能够表达专家犹豫不决的态度, 但对每个犹豫值的可信程度没有定量描述, 故Zhang等[11]提出了概率犹豫模糊集的概念, 它通过概率的大小描述每个犹豫值的可信程度, 使得决策信息更加全面、有效, 并针对决策问题, 提出了概率犹豫模糊加权平均算子和加权几何算子。武文颖等[12]定义了概率犹豫模糊数的Algebra运算和Einstein运算, 提出了概率犹豫模糊数的Algebra集成算子和Einstein集成算子; 梁玉英[13]将概率犹豫模糊元和Frank运算相结合, 提出了概率犹豫模糊Frank加权平均算子。Hamacher积与Hamacher和是一种范围更广的t-模和t-余模, 且Hamacher积与Hamacher和可通过自身参数实现运算的灵活性[14]。本文将Hamacher积与Hamacher和拓展到概率犹豫模糊数中, 提出相应集结算子, 具有重要的理论意义和实用价值。另外, Brauersan等[15-17]提出的MULTIMOOR方法是从比率法、全乘模型、参照点法这3个角度对方案进行比较和选择, 方法简单、易于理解。

为此, 本文给出了基于Hamacher范数的广义概率犹豫模糊MULTIMOORA决策方法。首先, 总结了概率犹豫模糊集的相关概念; 其次, 定义了概率犹豫模糊Hamacher运算, 并研究他们的运算性质; 在此基础上, 定义了概率犹豫模糊Hamacher加权平均算子和加权几何算子, 给出了集成算子的计算公式, 并研究了其性质; 最后, 结合MULTIMOORA方法对方案进行排序。通过实例分析验证算法的可行性和有效性。

1 基础知识

定义1  令X={x1, …, xn}为一个给定的非空集合, 在上的一个概率犹豫模糊集(probabilistic hesitant fuzzy set, PHFS)Hp定义为

式中:h(px)={(h(k), p(k))|k=1, 2, …, l}为概率犹豫模糊元(probabilistic hesitant fuzzy element, PHFE), h(k)∈[0, 1]表示元素x属于Hp的隶属度, p(k)∈[0, 1]表示隶属度h(k)的可信概率, l表示h(px)中隶属度的个数。简记h(px)=h(p), 同时定义h(p)的补集为[11]

为了便于比较分析多个概率犹豫模糊元的大小, 规定如下:

注1  所有的概率犹豫模糊元h(p)={(h(k), p(k))|k=1, 2, …, l}中的元素h(k)按照由小到大顺序排列, 其中(h(k), p(k))表示第k大的隶属度。

注2  当h1(p), h2(p)中元素个数不相等时, 可以在个数较少的PHFE中增加元素个数, 使得h1(p), h2(p)的元素个数相同。

定义2  对任意概率犹豫模糊元h(p)={(h(k), p(k))|k=1, 2, …, l}, 其得分函数s(h)和偏差函数φ(h)定义为[11]

显然, s(h), φ(h)∈[0, 1]。

定义3  已知任意2个概率犹豫模糊元hi(p)={(hi(k), pi(k))|k=1, 2, …, l}, i=1, 2, 则[11]

s(h1)>s(h2)时, 则h1h2;

s(h1)=s(h2)时, 则

1) 当φ(h1) < φ(h2)时, 则h1h2;

2) 当φ(h1)=φ(h2)时, 则h1~h2;

3) 当φ(h1)>φ(h2)时, 则h1h2

定义4  已知任意2个概率犹豫模糊元hi(p)={(hi(k), pi(k))|k=1, 2, …, li}(i=1, 2), 称

为概率犹豫模糊元h1(p)与h2(p)间的距离, 参数α, β, γ∈[0, 1]是为了防止大数吃小数。

定理1  已知任意2个概率犹豫模糊元hi(p)={(hi(k), pi(k))|k=1, 2, …, li}(i=1, 2), 则这2个概率犹豫模糊元间的距离满足下列性质:

1) 0≤d(h1(p), h2(p))≤1;

2) d(h1(p), h2(p))=0⇔h1(p)=h2(p);

3) d(h1(p), h2(p))=d(h2(p), h1(p))

4) d(h1(p), h2(p))≤d(h1(p), h3(p))+ d(h3(p), h2(p))

证明   1)非负性的证明:

, 且s(hi), φ(hi)∈[0, 1], α, β, γ∈[0, 1], 显然有0≤d(h1(p), h2(p))≤1。

2) 自反性的证明:

充分性:

必要性:

3) 对称性显然成立;

4) 三角不等式性的证明:

2 基于Hamacher范数的广义概率犹豫模糊集成算子及其性质

2.1 基于Hamacher型的概率犹豫模糊运算法则

在概率犹豫模糊运算中, 需要计算概率犹豫模糊元中概率的乘积, 增加了计算的难度。对此, 武文颖等[12]提出了改进的标准化概率, 并验证了其有效性。在此基础上, 本文给出基于Hamacher型的概率犹豫模糊运算法则。

定义5  设hi={(hi(k), pi(k))|k=1, 2, …, l}, i=1, 2和h(p)={(h(k), p(k))|k=1, 2, …, l}均为PHFE, γ∈(0, +∞), λ>0, 基于Hamacher型的概率犹豫模糊运算法则如下:

式中,

定理2  设h1(p)={(h1(k), p1(k))|k=1, 2, …, l}和h2(p)={(h2(k), p2(k))|k=1, 2, …, l}为任意2个PHFE, 则h1(p)⊕h2(p), h1(p)⊗h2(p), λh(p), hλ(p)均是PHFE。

2.2 广义概率犹豫模糊Hamacher加权平均算子

定义6  已知任意一组概率犹豫模糊元hi(p)={(hi(k), pi(k))|k=1, 2, …, l}, i=1, 2, …, n, 权重向量w=(w1, w2, …, wn)T满足wi∈[0, 1], 1。若GPFHWA(h1(p), h2(p), …, hn(p)) (wihi(p)), 则称GPFHWA(h1(p), …, hn(p))为广义概率犹豫模糊Hamacher加权平均算子, 简称GPFHWA算子。

定理3  已知任意一组概率犹豫模糊元hi(p)={(hi(k), pi(k))|k=1, 2, …, l}, i=1, 2, …, n, 权重向量为w, 则运用GPFHWA算子得到的集成结果为PHFE, 且有

式中,

证明  1)运用数学归纳法证明公式(1)成立。当n=2时, 有

假设当n=m时, 公式(1)成立。则当n=m+1时

由数学归纳法可知, 公式(1)成立。

2) 现证明GPFHWA(h1(p), h2(p), …, hn(p))为PHFE。

记GPFHWA(h1(p), h2(p), …, hn(p))算子中第k大隶属度为多元函数g(h1(k), …, hn(k)), 令 , 则

上式表明隶属度函数g(h1(k), …, hn(k))的单调性与函数f(h1(k), …, hn(k))单调性一致。

等式两边取对数, 即

对上式两边计算关于hi(k), i=1, 2, …, n的偏导数, 整理得

因此, g(h1(k), …, hn(k))具有单调非降性。当hi(k)∈[0, 1]时, 则有g(h1(k), …, hn(k))∈[0, 1]。

另外 成立。综上, GPFHWA(h1(p), h2(p), …, hn(p))为PHFE。

定理4  已知hi(p)={(hi(k), pi(k))|k=1, 2, …, l}为PHFE, w为相关的权重向量, 则GPFHWA算子满足下述性质:

1) 当∀i, hi(p)=h(p)={(h(k), p(k))|k=1, 2, …, l}, 则GPFHWA(h1(p), …, hn(p))=h(p);

2) 设ai(p)={(ai(k), qi(k))|k=1, 2, …, l}, i=1, …, n为另一组PHFE, 当∀i, hi(k)ai(k), pi(k)qi(k), 则

3) 令 , , 有h-(p)≤GPFHWA(h1(p), …, hn(p))≤h+(p)。

4) 置换不变性:设hi(p)是hi(p)(i=1, …, n)的任意一个置换, 则

证明:

1) 由于∀i, hi(p)={(h(k), p(k))|k=1, 2, …, l}, 且 成立, 则

2) 在证明定理4时, 已证第k大隶属度g(h1(k), …, hn(k))为单调非降性, 故当∀i, hi(k)ai(k)时, 有g(h1(k), …, hn(k))≤g(a1(k), …, an(k)); 当pi(k)qi(k) i=1, 2, …, n时, ; 则GPFHWA (h1(p), …, hn(p))的记分函数值小于GPFHWA (a1(p), …, an(p))的记分函数值, 由定义3可知, GPFHWA(h1(p), …, hn(p))小于GPFHWA(a1(p), …, an(p))。

3) 根据GPFHWA(h1(p), …, hn(p))的单调非降性和幂等性可知

4) 置换不变性:由性质1知GPFHWA(h1(p), 满足置换不变性。

2.3 广义概率犹豫模糊Hamacher加权几何算子

定义7  已知任意一组概率犹豫模糊元hi(p)={(hi(k), pi(k))|k=1, 2, …, l}, i=1, 2, …, n, 权重向量w=(w1, w2, …, wn)T满足wi∈[0, 1], 1。若GPFHWG(h1(p), …, hn(p)) , 则称GPFHWG(h1(p), …, hn(p))为广义概率犹豫模糊Hamacher加权平均算子, 简称GPFHWA算子。

定理5  已知任意一组概率犹豫模糊元hi(p)={(hi(k), pi(k))|k=1, 2, …, l}, i=1, 2, …, n, 权重向量为w, 运用GPFHWG算子得到的集成结果仍为PHFE, 且有

定理6  已知任意一组概率犹豫模糊元hi(p)={(hi(k), pi(k))|k=1, 2, …, l}, i=1, 2, …, n, 权重向量为w, 则GPFHWG(h1(p), …, hn(p))满足幂等性、单调非降性、有界性、置换不变性。

定理5和定理6的证明思路与定理3和定理4的证明思路基本一致。

3 决策应用

3.1 决策方法

决策问题的方案集B={bi|i=1, …, m}, 属性集C={cj|j=1, …, n}, 属性权重向量w=(wj|j=1, …, n), 满足0≤wj≤1, 。决策者用概率犹豫模糊元hij (p)={(hij(k), pij(k))|k=1, 2, …, l}表示方案bi关于属性cj的属性值, 得到初始决策矩阵H=(hij(p))m×n

下面, 将广义概率犹豫模糊Hamacher集成算子和MULTIMOORA方法相结合, 提出一种基于Hamacher范数的广义概率犹豫模糊MULTIMOORA决策方法。具体步骤如下:

Step 1   根据指标性质, 将初始决策矩阵H标准化处理, 得到标准决策矩阵H=(hij(p))m×n, 这里hij(p)={(hij(k), pij(k))|k=1, 2, …, l}, hij(k)= ; D1表示效益型属性集合, D2表示成本型属性集合。

Step 2   将矩阵H每行看作一组概率犹豫模糊元, 分别采用GPFHWA算子和GPFHWG算子集成处理, 对方案bi, 令ui1=GPFHWA(hi1, hi2, …, hin), ui2=GPFHWG(hi1, …, hin)。

Step 3   应用MULTMOOR方法进行评价

1) 基于比率法对备选方案进行评价:ri1=s(ui1)(i=1, …, m), 其中s(ui1)表示ui1的得分函数值, ri1越大方案越优;

2) 基于全乘模型对各方案进行评价:

ri2=s(ui2)(i=1, …, m), 其中s(ui2)表示ui2的得分函数值, ri2越大方案越优;

3) 基于参照点法对各方案进行评价:ri3= , 其中 ri3越小方案越优。

将比率法x1、全乘模型x2和参照点法x3作为评价属性, 建立决策矩阵R, 并将矩阵R标准化处理, 得到标准化决策矩阵R

式中, 当j=1, 2时, ; 当j=3时,

在此基础上, 方案bi的综合评价值为:Ei= Ei值越大, 对应的方案越优。

3.2 决策实例

以文献[18-19]中的实例为研究对象, 专家对4位候选者bi(i=1, 2, 3, 4)进行面试, 评价指标分别是计算能力c1、学术能力c2和英语能力c3, 它们均为效益型指标, 指标权重向量为w=(0.39, 0.26, 0.35), 评估结果用概率犹豫模糊集的形式表示, 见表 1所示。

表1

决策矩阵

Step 1   各方案集结:分别应用GPFHWA算子和GPFHWG算子得到候选人bi(i=1, 2, 3, 4)的综合属性信息ui1, ui2, 其中参数γ=0.5。

Step 2   应用MULTMOOR方法进行评价

1) 基于比率法的4位候选者评价:r11=0.675, r21=0.609, r31=0.588, r41=0.584;

2) 基于全乘法的4位候选者评价:r12=0.641, r22=0.553, r32=0.577, r42=0.557;

3) 基于参照点法的4位候选者评价:r13=0.011, r23=0.044, r33=0.031, r43=0.055;

建立决策矩阵R, 再获得标准决策矩阵R

综合属性值分别为:E1=1;E2=0.175;E3=0.292;E4=0.018;根据Ei值的大小对4位候选者的面试结果进行排序, 即b1b3b2b4

3.3 参数γ的影响

表 2给出了γ=0.3, 0.8, 1, 2, 10, 15时方案的综合属性值和排序结果, 从表 2可以看出, 虽然参数γ的取值不同, 但是方案的排序保持不变, 表明该方法具有非常好的稳定性。

表2

在不同参数γ下方案综合属性值和排序

3.4 与其他方法比较

为了验证本文方法的有效性, 将该方法与文献[18-19]的实验结果进行比较。其中, 文献[18]在定义模糊熵、犹豫熵和总熵的基础上, 结合考虑决策者偏好满意度公式和TOPSIS方法; 文献[19]提出了基于关联系数的概率犹豫模糊多属性决策模型。表 3给出了基于3种方法的方案排序结果。

表3

3种方法的方案排序结果

表 3可以看出, 本文方法与文献[18]和文献[19]的排序结果一致。该方法较文献[18-19]的优势在于:①本文方法的计算过程简单且易于理解, 能够从多个角度对方案进行比较和选择; ②文献[18]定义了正、负理想概率犹豫模糊集, 理想方案在现实问题中很难实现, 且在概率犹豫模糊集中定义的合理性还有待解决; ③文献[19]中2个概率犹豫模糊集间的相关系数计算过程复杂且耗时。

4 结论

针对概率犹豫模糊信息决策问题, 提出了基于Hamacher范数的广义概率犹豫模糊MULTIMOORA决策方法。首先, 将Hamacher型三角模和余模推广到概率犹豫模糊数中, 定义了概率犹豫模糊数Hamacher运算, 并探讨了概率犹豫模糊数Hamacher运算的性质; 在此基础上, 提出了GPFHWA算子和GPFHWG算子, 并研究了其性质; 最后, 通过MULTIMOORA方法对各方案进行比较和选择。在研究内容上, 扩展了Hamacher算子及其应用范畴, 方案排序集结了比率系统法、全乘法、参照点法, 使得结果更加合理, 丰富了概率犹豫模糊决策理论和方法。仿真实验表明了集成方法的有效性和可行性。

References

  1. Zadeh L A. Fuzzy Sets[J]. Information and Control, 1965, 8 (3): 338– 353 [CrossRef] [MathSciNet] [Google Scholar]
  2. Turksens I B. Interval Valued Fuzzy Sets Based on Normal Forms[J]. Fuzzy Sets and Systems, 1986, 20 (2): 191– 210 [Article] [CrossRef] [Google Scholar]
  3. Atanassov K T. Intuitionistic Fuzzy Sets[J]. Fuzzy Sets and Systems, 1986, 20 (1): 87– 96 [Article] [CrossRef] [Google Scholar]
  4. Hu J H, Xiao K L, Chen X H, et al. Interval Type-2 Hesitant Fuzzy Set and Its Application in Multi-Criteria Decision Making[J]. Computers & Industrial Engineering, 2015, 87 (9): 91– 103 [Article] [CrossRef] [Google Scholar]
  5. Torra V, Narukawa Y. On Hesitant Fuzzy Sets and Decision[C]//.The 18th IEEE Int Conf on Fuzzy Systems, 2009: 1378–1382 [Google Scholar]
  6. Torra V. Hesitant Fuzzy Sets[J]. International Journal of Intelligent Systems, 2010, 25 (6): 529– 539 [Google Scholar]
  7. Zhang X L, Xu Z S. The TODIM Analysis Approach Based on Novel Measured Functions under Hesitant Fuzzy Environment[J]. Knowledge-Based Systems, 2014, 61 (2): 48– 58 [Article] [CrossRef] [Google Scholar]
  8. Jin F F, Ni Z W, Chen H Y. Note on "Hesitant Fuzzy Prioritized Operators and Their Application to Multiple Attribute Decision Making"[J]. Knowledge-Based Systems, 2016, 96 (C): 115– 119 [Article] [CrossRef] [Google Scholar]
  9. Liao H C, Xu Z S, Zeng X J. Novel Correlation Coefficients between Hesitant Fuzzy Sets and Their Application in Decision Making[J]. Knowledge-Based Systems, 2015, 82 (C): 115– 127 [Article] [CrossRef] [Google Scholar]
  10. Sun G D, Guan X, Yi X, et al. An Innovative TOPSIS Approach Based on Hesitant Fuzzy Correlation Coefficient and Its Applications[J]. Applied Soft Computing, 2018, 68: 249– 267 [Article] [CrossRef] [Google Scholar]
  11. Zhang S, Xu Z, He Y. Operations and Integrations of Probabilistic Hesitant Fuzzy Information in Decision Making[J]. Information Fusion, 2017, 38 (C): 1– 11 [Article] [CrossRef] [Google Scholar]
  12. Wu Wenying, Li Ying, Jin Feifei, et al. Group Decision Making Model Based on Probabilistic Hesitant Fuzzy Information Aggregation Operations[J]. Pattern Recogntion and Artificial Intelligence, 2017, 30 (10): 894– 906 [Article] (in Chinese) [Google Scholar]
  13. Liang Yuying. Selection of Data Products Based on Probabilistic Hesitant Fuzzy Information Aggregation Algorithm[J]. Computer Engineering and Applications, 2019, 55 (3): 219– 224 [Article] (in Chinese) [Google Scholar]
  14. Liu Weifeng, Ghang Juan, He Xia. Pythagorean Fuzzy Hamacher Aggregation Operators and Its Application to Decision Making[J]. Systems Engineering-Theory & Practice, 2018, 38 (6): 1566– 1574 (in Chinese) [Google Scholar]
  15. Brauers W K M, Zavadskas E K. The MOORA Method and Its Application to Privatization in a Transition Economy[J]. Control Cybern, 2006, 35 (2): 445– 469 [Article] [Google Scholar]
  16. Brauers W K M, Zavadskas E K. MULTIMOORA Optimization Used to Decide on a Bank Loan to Buy Property[J]. Technological & Economic Development of Economy, 2011, 17 (1): 174– 188 [Article] [CrossRef] [Google Scholar]
  17. Brauers W K M, Balezentis A, Balezentis T. MULTIMOORA for the EU Member States Updated with Fuzzy Number Theory[J]. Technological & Economic Development of Economy, 2011, 17 (2): 259– 290 [Article] [CrossRef] [Google Scholar]
  18. Zhu Feng, Liu Yumin, Jin Linlin. Probabilistic Hesitant Fuzzy Multi-Attribute Decision-Making Method Based on Correlation Coefficient[J]. Statistics & Decision, 2019, 18 (8): 41– 44 [Article] (in Chinese) [Google Scholar]
  19. Liu Yumin, Zhu Feng, Jin Linlin. Multi-Attribute Decision Method Based on Probabilistic Hesitant Fuzzy Entropy[J]. Control and Decision, 2019, 34 (4): 861– 870 [Article] (in Chinese) [Google Scholar]

All Tables

表1

决策矩阵

表2

在不同参数γ下方案综合属性值和排序

表3

3种方法的方案排序结果

Current usage metrics show cumulative count of Article Views (full-text article views including HTML views, PDF and ePub downloads, according to the available data) and Abstracts Views on Vision4Press platform.

Data correspond to usage on the plateform after 2015. The current usage metrics is available 48-96 hours after online publication and is updated daily on week days.

Initial download of the metrics may take a while.