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All issues Volume 42 / No 4 (August 2024) JNWPU, 42 4 (2024) 577-587 Full HTML
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Issue
JNWPU
Volume 42, Number 4, August 2024
Page(s) 577 - 587
DOI https://doi.org/10.1051/jnwpu/20244240577
Published online 08 October 2024

© 2024 Journal of Northwestern Polytechnical University. All rights reserved.

Licence Creative CommonsThis is an Open Access article distributed under the terms of the Creative Commons Attribution License (https://creativecommons.org/licenses/by/4.0), which permits unrestricted use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original work is properly cited.

壁板颤振是飞行器蒙皮在气动力、弹性力和惯性力的耦合作用下产生的一种自激振动[1], 壁板颤振会引起蒙皮横向大幅值极限环颤振, 导致蒙皮的疲劳、开裂, 对飞行器的飞行性能产生非常不利的影响[2]。未来超声速和高超声速飞行器都面临着结构轻量化设计的挑战, 因此, 薄壁结构将是结构设计的必然趋势。对于此类飞行器的结构, 在超声速或高超声速下进行壁板的气动弹性分析极为重要。

近几十年来, 许多学者围绕壁板颤振开展了大量的研究。在理论方面, Dowell[3]对1970年以前人们在壁板颤振领域的诸多研究成果做出了全面性的总结, 他以其应用的结构理论和气动力理论为标准, 将壁板颤振的分析问题分为了4大类。Gary等[4]对Dowell的分类做出了进一步的细分和延伸, 提出了第五种方法, 即结构理论为非线性, 气动力应用非线性活塞理论计算的方法。Cheng等[5]后续又总结之前学者的经验、结论, 将分析壁板颤振的方法扩展出第6类, 即结构理论为非线性, 气动力采用Euler或N-S方程计算的方法。在数值模拟方面, McIntosh和Eastep等[6–7]在分析中将二阶活塞理论的非线性项加入壁板振动方程, 分析了气动力的非线性效应对壁板颤振特性的影响。结果表明, 气动力的非线性使得飞行器壁板的振动在内部空腔一侧的振幅较大。陈大林等[8]基于三阶活塞理论的壁板颤振方程, 用数值积分法求解了时域内壁板的非线性颤振响应, 发现了受热壁板复杂的动力学现象如: 收敛运动、单周期的极限环振动、多周期颤振响应以及混沌运动等。杨智春等[9]基于带有曲率修正的一阶活塞理论壁板颤振方程, 分析了动压参数对受热二维曲壁板分岔特性的影响, 发现了初始几何曲率与气动热效应使得曲壁板具有复杂的动力学特性, 不再像平壁板一样, 经过倍周期分岔进入混沌, 而会出现由静变形状态直接进入混沌运动的现象。Zhu等[10]基于活塞理论气动力模型建立了预拉伸位移受热壁板的非线性动力学方程, 发现了预拉伸法可以显著提高超声速壁板的颤振临界动压。刘成等[11]通过研究活塞理论在单侧气流和双侧气流的物面振动中的应用, 分析这2种不同研究对象的气动力非线性效应, 发现了在单侧气流的物面振动中, 气动力非线性效应显著, 需要运用高阶活塞理论。Meng等[12]建立了含激波膨胀波项的活塞理(SEPT), 将其和活塞理论进行对比, 发现SEPT与活塞理论对非线性气动力的模拟结果是等效的, 说明活塞理论高阶项实际上是一种弱激波膨胀波的非线性效应。Meng等[13]通过对活塞理论各阶项进行频谱分析, 发现活塞理论的非线性特征是其各阶项之间相互作用、相互制衡的结果。

从上述文献中可以看出, 在超声速或高超声速非定常气动力的计算中, 活塞理论被广泛运用于壁板颤振分析中。随着马赫数的增加, 气动力的非线性效应会对壁板颤振产生较大影响。研究表明, 在Ma>5的高超声速阶段, 采用三阶活塞理论能够较好地体现气动力的非线性效应[1]。因此, 高阶活塞理论与一阶活塞理论所计算的壁板颤振结果会产生较大的差异。但是, 前人对超声速壁板颤振的研究多是基于单一的气动力模型所建立的壁板颤振方程进行的, 对于不同阶活塞理论的非线性因素对壁板颤振的影响规律并没有进行系统深入的研究。因此, 研究不同阶活塞理论的非线性因素对颤振结构的影响规律具有重要的学术价值, 同时也具有重要的工程意义。

为了系统研究活塞理论非线性因素对壁板颤振的影响规律，本文首先建立了基于一阶、二阶、三阶活塞理论, 考虑热应力的几何非线性二维壁板运动方程, 然后应用数值积分的方法对上述方程进行求解, 分别得到了以动压和温升比为可变参数的位移响应峰值图, 最后通过位移响应峰值图, 总结出活塞理论不同非线性项对壁板颤振的影响规律。

1 超声速气流中二维非线性壁板运动方程

1.1 气动力模型

一阶活塞理论的超声速气动力为

而考虑气动力的非线性时, 添加非线性项, 则得到二阶以及三阶活塞理论的超声速气动力分别如(2)~(3)式所示。

1.2 壁板运动微分方程

考虑一个两端简支的二维壁板, 壁板上表面有超声速气流流过, 气体的速度、密度、马赫数分别为V∞, ρ∞, Ma∞。壁板长度为a, 厚度为h, 密度为ρ。考虑热应力的无量纲壁板颤振方程为

式中：ξ=x/a, W=w/h, τ=, λ=2qa3/(DMa), s=h/a, μ=ρ∞a/(ρh), RT=NTa2/D, Rx=；c2和c3为系数, 取0或1, 当两者均取0时, 则为一阶活塞理论下的壁板运动微分方程, 当c2取1, c3取0时, 则为二阶活塞理论下的壁板运动微分方程, 当二者均取1时, 则为三阶活塞理论下的壁板运动微分方程。

1.3 控制方程的离散化

根据简支边界条件可知

取满足边界条件的试函数为sin(nπξ), n=1, 2, …。将位移函数展开为若干试函数的线性叠加, 则位移函数设为

式中, 广义坐标为gn(τ)。将(6)式代入(4)式中, 应用Galerkin法[14]求解(4)式, 假设壁板变形主要由其前N阶谐波模态函数构成(只用前N阶模态函数的叠加来表示壁板的位移函数), 设g=dg/dτ, 即可得到降阶后的壁板运动方程

式中

2 超声速气流中二维非线性壁板稳定性分析

为了方便本文后续基于数值分析法对壁板颤振特性进行分析, 现对二维非线性壁板的稳定性进行分析, 得出壁板稳定性区域图, 为后续数值分析法求解的参数取值范围提供依据, 同时根据壁板稳定性区域图, 验证计算所得到的壁板动力学行为的正确性。

以一阶活塞理论为例, 对超声速气流中二维非线性壁板的稳定性进行分析。

将一阶活塞理论的壁板运动微分方程中所有状态变量对时间的导数全取为0, 可以得出壁板的静态方程

gi=0(i=1, 2, 3…n)为该方程的一个解, 对应着无变形的壁板平衡状态(P0)。

可以假设系统形变由静形变ai和小扰动量εi构成，即: , 则在壁板平衡状态下(P0)下, 方程(8)可线化为

式中，ε=[ε1, ε2, …, ε2N]T, A为方程(8)在状态P0下的雅各比矩阵, 该方程的特征方程有复特征值Ω=β±iω, 由李雅普诺夫间接法[15–17]得: 当β>0时系统不稳定, 当β < 0时系统稳定, 当ω=0时系统静态屈曲失稳。实部β中包含动压和温升比2个参数, 温升比通过改变壁板颤振方程(4)中的参数面致热应力RT影响壁板颤振, 两者相互独立, 取N=6, 根据雅各比矩阵特征值实部随动压和温升比的变化, 得到如图 1所示的壁板稳定性区域图。

图中区域Ⅰ为渐进稳定区, 在此区域内, 壁板最终都会稳定在平壁板状态, 颤振幅值最终收敛为0。

区域Ⅱ为基本型颤振区, 在该区域内, 壁板将发生动态失稳, 即极限环运动(非线性限幅振荡), 甚至发生混沌运动等复杂动力学行为。

区域Ⅲ为屈曲区(静态失稳), 在区域内, 壁板都会稳定在屈曲变形状态。

区域Ⅳ为过渡稳定区, 在此区域内, 壁板有可能稳定在屈曲变形状态, 也可能稳定在平壁板状态。

二阶和三阶活塞理论与一阶活塞理论相同, gi=0(i=1, 2, 3, …, n)为该方程的一个解, 对应着无变形的壁板平衡状态(P0), 在该状态下, 二阶、三阶活塞理论下的雅各比矩阵相同。应用李雅普诺夫间接法判断此平衡状态下系统的稳定性, 可以得到相同的壁板区域稳定性图。

thumbnail 图1

壁板稳定性区域图

3 结果与分析

3.1 不同动压下非线性项对壁板颤振的影响

本文旨在研究超声速气流下活塞理论非线性项对壁板颤振的影响规律。随着马赫数增大, 气动力的非线性效应会显著增长, 为深度探究活塞理论非线性项对壁板颤振的影响规律, 选取Ma=2.0, 4.0, 6.0, 8.0这4个状态, 使马赫数范围覆盖超声速至高超声速。为了细致研究不同动压下活塞理论非线性项对壁板颤振的影响规律, 使模拟结果更加完整, 包含所有壁板动态响应情况, 结合壁板稳定性区域图, 统一取温升比为ΔT/T=2, 动压0~1 500, 分别基于一阶、二阶、三阶活塞理论采用四阶龙格-库塔法对壁板颤振进行数值模拟和分析。

无量纲时间步长τ=0.001, 初值取一阶广义速度为0.1。位移监测点取壁板流向x=0.75位置。

3.1.1 Ma=2.0状态

图 2为Ma=2.0不同活塞理论下无量纲位移随动压变化的分叉图。如图 2所示, 根据极限环幅值随动压的变化特征, 将整个动压范围划分为7个阶段。

如表 1所示，Ma=2.0时，阶段Ⅰ~Ⅶ的壁板动力学特性及颤振幅值随动压变化规律为：

1) 阶段Ⅰ, 当λ＜108时, 一、二、三阶活塞理论计算结果基本一致, 壁板稳定在屈曲变形状态。

2) 阶段Ⅱ, 当108≤λ＜192时, 一、二、三阶活塞理论计算结果一致, 壁板稳定在平壁板状态。

3) 阶段Ⅲ，当192≤λ＜708时, 二、三阶活塞理论计算的极限环颤振幅值略小于一阶活塞理论计算的极限环颤振幅值。壁板动态响应均表现为单周期极限环振动, 颤振幅值随着动压的增加而增大。

4) 阶段Ⅳ, 当708≤λ＜768时, 壁板动态响应均表现为单周期极限环振动。在一阶活塞理论下, 颤振幅值随着动压的增加而减小。在二、三阶活塞理论下, 颤振幅值随动压的增加而增大。

5) 阶段Ⅴ, 当768≤λ＜1 041时, 与阶段Ⅲ规律相同, 但在λ=822时, 壁板颤振幅值出现跳变, 在λ>822时, 壁板颤振幅值相比之前大幅减小。

6) 阶段Ⅵ, 当1 041≤λ＜1 050时, 在二阶、三阶活塞理论下壁板动态响应表现为多周期极限环振动, 一阶活塞理论下, 壁板动态响应表现为单周期极限环振动, 且颤振幅值随着动压的增加而增大。

7) 阶段Ⅶ, 当λ≥1 050时, 与阶段Ⅲ规律相同。

thumbnail 图2

不同活塞理论下壁板x=0.75处位移随动压变化的分叉图(Ma=2)
表1

不同活塞理论在不同动压阶段下的壁板动力学特性对比(Ma=2)

3.1.2 Ma=4.0状态

图 3为Ma=4.0不同活塞理论下无量纲位移随动压变化分叉图。如图 3所示, 根据极限环幅值随动压的变化特征, 将整个动压范围划分为7个阶段。

如表 2所示，在Ma=4.0时, 阶段Ⅰ~Ⅴ, Ⅶ的规律分别与前述Ma=2.0时的阶段Ⅰ~Ⅴ, Ⅶ的规律相同, 因此不再赘述。

阶段Ⅵ, 当936≤λ＜1 068时, 一阶活塞理论下, 壁板动态响应表现为单周期极限环振动, 颤振幅值随着动压的增加而增大。二阶、三阶活塞理论下壁板动态响应表现为二周期极限环振动。

thumbnail 图3

不同活塞理论下x=0.75处位移随动压变化的分叉图(Ma=4)
表2

不同活塞理论在不同动压阶段下的壁板动力学特性对比(Ma=4)

3.1.3 Ma=6.0状态

图 4为Ma=6.0不同活塞理论下无量纲位移随动压变化分叉图。根据极限环幅值随动压的变化特征, 将整个动压范围划分为10个阶段。

如表 3所示，在Ma=6.0时, 阶段Ⅰ~Ⅴ分别与前述Ma=2.0时阶段Ⅰ~Ⅴ规律相同, 阶段Ⅷ和Ⅹ与前述Ma=2.0时阶段Ⅶ规律相同, 阶段Ⅵ与前述Ma=4.0时阶段Ⅵ规律相同, 因此不再赘述。

1) 阶段Ⅶ, 当1 017≤λ＜1 095时, 一阶活塞理论下, 壁板动态响应表现为单周期极限环振动, 颤振幅值随着动压的增加而增大。二、三阶活塞理论下壁板动态响应表现为混沌运动。

2) 阶段Ⅸ, 当1 194≤λ＜1 248时, 一阶活塞理论下, 壁板动态响应表现为单周期极限环振动, 且颤振幅值随着动压的增加而增大。二、三阶活塞理论下壁板动态响应表现为多周期极限环振动。

thumbnail 图4

不同活塞理论下x=0.75处位移随动压变化的分叉图(Ma=6)
表3

不同活塞理论在不同动压阶段下的壁板动力学特性对比(Ma=6)

3.1.4 Ma=8.0状态

图 5为Ma=8.0不同活塞理论下无量纲位移随动压变化分叉图。如图 5所示, 根据极限环幅值随动压的变化特征, 将整个动压范围划分为14个阶段。

如表 4所示，在Ma=8.0时, 阶段Ⅰ~Ⅱ, Ⅷ~Ⅸ分别与前述Ma=2.0时阶段Ⅰ~Ⅱ, Ⅳ~Ⅴ规律相同, 阶段Ⅲ, Ⅴ, Ⅶ, Ⅻ, XIV与前述Ma=2.0时阶段Ⅶ规律相同，此时阶段XIV高阶活塞理论计算响应峰值与一阶活塞理论计算响应峰值误差达到最大, 约为16.66%。阶段Ⅳ, Ⅵ, Ⅹ与前述Ma=4.0时阶段Ⅵ规律相同, 阶段Ⅺ, XⅢ分别与前述Ma=6.0时的阶段Ⅶ, Ⅸ规律相同, 因此, 在此不再赘述。

thumbnail 图5

不同活塞理论下x=0.75处位移随动压变化的分叉图(Ma=8)
表4

不同活塞理论在不同动压阶段下的壁板动力学特性对比(Ma=8)

3.2 不同温升比下非线性项对壁板颤振的影响

马赫数状态和其他参数选取与3.1节相同, 结合壁板稳定性区域图, 统一取动压为λ=300, 温升比0~8, 分别基于一阶、二阶、三阶活塞理论, 采用四阶龙格-库塔法对壁板颤振进行数值模拟和分析。

3.2.1 Ma=2.0状态

图 6为Ma=2.0不同活塞理论下无量纲位移随温升比变化的分叉图。根据极限环幅值随温升比的变化特征, 将整个温升比范围划分为5个阶段。

如表 5所示：

1) 阶段Ⅰ, 当ΔT/T＜0.5时, 一、二、三阶活塞理论计算结果一致, 壁板稳定在平壁板状态。

2) 阶段Ⅱ, 当0.5≤ΔT/T＜4.2时, 一、二、三阶活塞理论计算的壁板动态响应均表现为单周期极限环振动, 颤振幅值随着温升比的增加而增大。

3) 阶段Ⅲ, 当4.2≤ΔT/T＜4.7时, 一阶、二阶、三阶活塞理论计算的壁板动态响应均表现为单周期极限环振动, 此时一阶活塞理论所计算的壁板颤振幅值随着温升比的增加而增大, 二阶、三阶活塞理论所计算的壁板颤振幅值随着温升比的增加而减小, 一阶活塞理论所计算的壁板颤振幅值与二阶、三阶活塞理论所计算的壁板颤振幅值的差值随着温升比的增加进一步增大, 二阶、三阶活塞理论所计算的壁板颤振幅值基本一致。

4) 阶段Ⅳ, 当4.7≤ΔT/T＜5.7时, 一阶活塞理论下, 壁板动态响应表现为单周期极限环振动, 且颤振幅值随着温升比的增加而增大。二阶、三阶活塞理论下壁板动态响应表现为多周期极限环振动, 在ΔT/T=5.5时, 二阶、三阶活塞理论所计算的壁板颤振幅值出现跳变, 在ΔT/T>5.5时, 壁板颤振幅值相比之前大幅增加。

5) 阶段Ⅴ, 当ΔT/T≥5.7时, 一、二、三阶活塞理论壁板响应为多周期极限环或混沌运动。

thumbnail 图6

不同活塞理论下x=0.75处位移随温升比变化的分叉图(Ma=2)
表5

不同活塞理论在不同温升比阶段下的壁板动力学特性对比(Ma=2)

3.2.2 Ma=4.0状态

图 7为Ma=4.0不同活塞理论下无量纲位移随温升比变化的分叉图。如图所示, 随着温升比的增加, 一阶、二阶、三阶活塞理论下壁板动态响应在不同温升比阶段呈现出不同的差异性。为了细致分析影响规律随温升比的变化, 根据极限环幅值随温升比的变化特征, 将整个温升比范围划分为4个阶段。

如表 6所示，在Ma=4.0, 阶段Ⅰ, Ⅳ分别与前述Ma=2.0时阶段Ⅰ, Ⅴ的规律相同, 因此, 不再赘述。

1) 阶段Ⅱ, 当0.5≤ΔT/T＜4.8时, 一阶、二阶、三阶活塞理论计算的壁板动态响应均表现为单周期极限环振动, 且颤振幅值随着温升比的增加而增大, 同时一阶活塞理论所计算的壁板颤振幅值与二阶、三阶活塞理论所计算的壁板颤振幅值的差值随着温升比的增加而增大, 二阶、三阶活塞理论所计算的壁板颤振幅值基本一致, 在ΔT/T=4时, 二阶、三阶活塞理论所计算的壁板颤振幅值出现跳变, 在ΔT/T>4时, 壁板颤振幅值相比之前大幅增加。

2) 阶段Ⅲ, 当4.8≤ΔT/T＜5.7时, 一阶活塞理论下, 壁板动态响应表现为单周期极限环振动, 且颤振幅值随着温升比的增加而增大。二阶、三阶活塞理论下壁板动态响应表现为多周期极限环振动。

thumbnail 图7

不同活塞理论下x=0.75处位移随温升比变化的分叉图(Ma=4)
表6

不同活塞理论在不同温升比阶段下的壁板动力学特性对比(Ma=4)

3.2.3 Ma=6.0状态

图 8为Ma=6.0不同活塞理论下无量纲位移随温升比变化的分叉图。如图 8所示, 根据极限环幅值随温升比的变化特征, 将整个温升比范围划分为4个阶段。

如表 7所示，在Ma=6.0时, 阶段Ⅰ, Ⅱ, Ⅳ分别与前述Ma=4.0时阶段Ⅰ, Ⅱ, Ⅳ的规律相同, 因此, 在此不再赘述。

阶段Ⅲ, 当4.5≤ΔT/T＜5.7时, 二阶、三阶活塞理论计算结果差异极小, 一阶活塞理论与二阶、三阶活塞理论壁板动态响应特征的计算结果出现本质上的差异。一阶活塞理论下, 壁板动态响应表现为单周期极限环振动, 且颤振幅值随着动压的增加而增大。二阶、三阶活塞理论下壁板动态响应表现为多周期极限环振动, 但在4.5≤ΔT/T＜5.2时, 壁板响应峰值点较为发散。

thumbnail 图8

不同活塞理论下x=0.75处位移随温升比变化的分叉图(Ma=6)
表7

不同活塞理论在不同温升比阶段下的壁板动力学特性对比(Ma=6)

3.2.4 Ma=8.0状态

图 9为Ma=8.0不同活塞理论下无量纲位移随温升比变化分叉图。如图 9所示, 随着温升比的增加, 一阶、二阶、三阶活塞理论下壁板动态响应在不同温升比阶段呈现出不同的差异性。为了细致分析影响规律随温升比的变化, 根据极限环幅值随温升比的变化特征, 将整个温升比范围划分为10个阶段。

如表 8所示，在Ma=8.0时, 阶段Ⅰ, Ⅹ分别与前述Ma=2.0时阶段Ⅰ, Ⅳ的规律相同, 阶段Ⅱ, Ⅳ, Ⅵ, Ⅷ与前述Ma=2.0时阶段Ⅱ规律相同, 阶段Ⅶ, Ⅸ与前述Ma=4.0时阶段Ⅲ规律相同, 因此, 不再赘述。

1) 阶段Ⅲ, 当2.0≤ΔT/T＜2.2时, 一阶活塞理论下, 壁板动态响应表现为单周期极限环振动, 且颤振幅值随着动压的增加而增大。二、三阶活塞理论下壁板动态响应表现为二周期极限环振动。

2) 阶段Ⅴ, 当3.5≤ΔT/T＜3.9时, 一阶活塞理论下, 壁板动态响应表现为单周期极限环振动, 颤振幅值随着动压的增加而增大。二阶、三阶活塞理论下壁板动态响应表现较为复杂: 包含单周期极限环振动和多周期极限环振动。

thumbnail 图9

不同活塞理论下x=0.75处位移随温升比变化的分叉图(Ma=8)
表8

不同活塞理论在不同温升比阶段下的壁板动力学特性对比(Ma=8)

4 结论

本文采用四阶龙格-库塔法对一、二、三阶活塞理论下的二维简支壁板颤振方程进行数值模拟, 针对活塞理论非线性项对壁板颤振的影响规律开展研究。根据数值模拟结果, 分析得出以下主要结论:

1) 小温升比下, 随着动压的变化, 高阶活塞理论相比一阶活塞理论的结果表现出更复杂的动力学现象。一阶活塞理论计算的结果，壁板响应仅表现为收敛运动和单周期极限环颤振。而高阶活塞理论计算的结果除上述特征外, 还存在多周期极限环颤振和混沌运动等更复杂的非线性动力学现象。

2) 随着马赫数增加, 一阶和高阶活塞理论下的壁板动态响应出现显著差异时所需的动压和温升比逐渐减小, 从Ma=2时, λ=1041和ΔT/T=4.7到Ma=8时, 大幅减小为λ=288和ΔT/T=2.0。

3) Ma=6, 1 017≤λ＜1 095, 1 194≤λ＜1 248和Ma=8, 1 011≤λ＜1 164, 1 191≤λ＜1 290或高温升比下, 二、三阶活塞理论计算结果出现显著差异。

4) 在壁板动态响应一致时, 高阶活塞理论计算的响应峰值通常小于一阶活塞理论计算结果, 最大误差处位于Ma=8, λ≥1 290, 约为16.66%。随着温升比的变化, 高阶活塞理论相比一阶活塞理论计算的结果, 更早进入多周期极限环颤振, 随后进入混沌运动。同时随着马赫数增大, 高阶活塞理论计算的混沌状态逐渐转化为多周期极限环颤振。

综上所述, 本文细致研究了活塞理论非线性项对简支壁板颤振的影响规律, 发现二、三阶活塞理论非线性项对壁板颤振会产生较大的影响, 在较高马赫数下, 其影响更明显。由上述结论, 可根据不同来流条件选择合适的活塞理论开展研究, 这对壁板颤振的实际工程应用具有一定的参考价值。

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All Tables

表1

不同活塞理论在不同动压阶段下的壁板动力学特性对比(Ma=2)

In the text
表2

不同活塞理论在不同动压阶段下的壁板动力学特性对比(Ma=4)

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表3

不同活塞理论在不同动压阶段下的壁板动力学特性对比(Ma=6)

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表4

不同活塞理论在不同动压阶段下的壁板动力学特性对比(Ma=8)

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表5

不同活塞理论在不同温升比阶段下的壁板动力学特性对比(Ma=2)

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表6

不同活塞理论在不同温升比阶段下的壁板动力学特性对比(Ma=4)

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表7

不同活塞理论在不同温升比阶段下的壁板动力学特性对比(Ma=6)

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表8

不同活塞理论在不同温升比阶段下的壁板动力学特性对比(Ma=8)

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All Figures

thumbnail 图1

壁板稳定性区域图
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thumbnail 图2

不同活塞理论下壁板x=0.75处位移随动压变化的分叉图(Ma=2)
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thumbnail 图3

不同活塞理论下x=0.75处位移随动压变化的分叉图(Ma=4)
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thumbnail 图4

不同活塞理论下x=0.75处位移随动压变化的分叉图(Ma=6)
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thumbnail 图5

不同活塞理论下x=0.75处位移随动压变化的分叉图(Ma=8)
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thumbnail 图6

不同活塞理论下x=0.75处位移随温升比变化的分叉图(Ma=2)
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thumbnail 图7

不同活塞理论下x=0.75处位移随温升比变化的分叉图(Ma=4)
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thumbnail 图8

不同活塞理论下x=0.75处位移随温升比变化的分叉图(Ma=6)
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thumbnail 图9

不同活塞理论下x=0.75处位移随温升比变化的分叉图(Ma=8)
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