| Issue |
JNWPU
Volume 43, Number 5, October 2025
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|---|---|---|
| Page(s) | 896 - 905 | |
| DOI | https://doi.org/10.1051/jnwpu/20254350896 | |
| Published online | 05 December 2025 | |
Topology optimization method of continuum structure considering fail-safe design under stress constraints
应力约束下考虑破损-安全设计的连续体结构拓扑优化方法
1
Yangjiang Nuclear Power Co., Ltd., Yangjiang 529941, China
2
Suzhou Nuclear Power Research Institute Co., Ltd., Suzhou 215004, China
3
School of Mechanics and Transportation Engineering, Northwestern Polytechnical University, Xi'an 710072, China
Received:
29
August
2024
In engineering structures, local damage can reduce significantly overall performance, attracting widespread attention. However, the existing topology optimization methods often overlook the impact of local damage on structural safety, limiting their effectiveness in addressing this challenge. To this end, a topology optimization method of continuum structures in terms of the fail-safe design principles is proposed, where the fixed-shape damage regions are designated as the local damage patterns. The optimal model is established with the objective of minimizing structural volume under stress constraints. An optimization algorithm is developed based on the independent continuous mapping (ICM) method, with sensitivity analysis conducted by using the adjoint method and optimization problem-solving carried out by using the dual programming theory. Using classic L-shaped beams as case, the effects of the distributions and shapes of local damage on the optimal configurations is investigated. Numerical results show that optimal configurations incorporating fail-safe design principles are more complex and contain greater redundancy, therefore reducing the sensitivity to local damage. Furthermore, the damage distributions and shapes yield varying topological configurations. The present method effectively identifies the most unfavorable damage distribution locations within structures, providing the valuable guidance for designing the safety performance of engineering structures.
摘要
在工程结构中, 局部破损可能显著降低其整体性能, 这一问题引起了广泛关注。然而, 现有的拓扑优化方法往往忽略了局部破损对结构安全性的影响, 难以有效应对这一挑战。为此, 提出了一种基于破损-安全设计的连续体结构拓扑优化方法, 指定固定形状的损伤区域作为局部破损模式, 并以最小化结构体积为目标、以应力为约束建立优化模型。基于独立连续映射法(ICM)建立优化算法, 采用伴随法进行灵敏度分析, 利用对偶规划理论求解优化模型。以悬臂梁等经典结构作为研究对象, 探讨了不同的局部破损分布情况和形状对优化构型的影响规律, 数值算例结果表明: 考虑破损-安全设计原则的优化构型更加复杂, 同时具有更多冗余, 从而降低了对局部破损的敏感性; 局部破损区域的不同分布情况和形状会产生不同的拓扑优化构型; 所提方法可识别结构中最不利的破损分布位置, 为工程结构的安全性能设计提供了有力参考。
Key words: topology optimization / fail-safe design / continuum structure / stress constraint / ICM method
关键字 : 拓扑优化 / 破损-安全设计 / 连续体结构 / 应力约束 / ICM法
© 2025 Journal of Northwestern Polytechnical University. All rights reserved.
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在结构的正常使用阶段，局部破损是需要考虑的关键因素，这是因为局部破损通常会引起结构应力的重新分布，降低结构的承载能力和稳定性。尤其在结构的关键部位，如支撑点、连接部位或受力较大的区域，局部破损的发生可能导致严重的结构失效，增加结构在荷载作用下的风险。因此，为了确保结构在出现局部破损的情况下仍能维持整体安全性和稳定性，亟需在设计阶段就对局部破损进行考虑。Niu[1]对飞行器设计的破损-安全原则做了明确定义，将破损-安全定义为在冗余结构中单个构件失效或者在整体结构中部分构件失效，并且整个结构必须承载80%以上而不会发生毁灭性破坏。Sun等[2]给出了破损-安全设计的定义及公式，提出破损情况可以用降低构件刚度或者移除任意一个杆件来表示。破损-安全的拓扑优化研究最初是针对桁架类结构，因为对于桁架类结构而言，其破损模式很容易确定，可以从桁架的基结构中指定任意单一杆件作为一种局部破损情况从而组成结构局部破损模式。Marhadi等[3]在优化进程中引入非线性渐进有限元方法，并在之后的工作中比较了不同损伤容限的结构优化设计[4]。破损-安全设计原则的一大难点在于如何考虑结构的局部破坏，因为破坏的形式和位置都是无法确定的。杜剑明等[5]认为所假定的失效模式不一定是最危险的，于是提出了双层优化设计，上层规划用来寻找最优设计变量，下层规划是为了获得最坏破损情况。
相比于上述桁架拓扑优化，连续体结构的破损-安全设计拥有更多难点，不但要确定结构的破损，也还要研究如何建模求解。此外，桁架结构的局部破损能够指定任意一个杆件去除，而连续体结构如何确定破损分布情况无疑就成为一大难点。Jansen等[6]首先对这一难点进行深入研究，将随机分布的破损情况变成确定分布，并且假定由意外引起的损坏仅限于结构的某一个位置，材料只能以规定尺寸的若干固定形状(即设计域的子集)的形式移除。虽然采用并行算法可以降低计算成本，但是由于局部破损状况都布置在每个单元中心上，如果有成千上万个单元的话，将会有成千上万种局部破损状况，其计算成本非常高。Zhou等[7]在此基础上，针对Jansen方法中计算量大的缺陷，采用2种方案将相邻的破损情况间距拉大，大大减少了破损情况数量。彭细荣等[8]在此基础上，基于Minimax的概念，克服了多目标问题利用K-S凝聚函数计算繁琐的困难，基于独立连续映射(ICM)法[9]，建立了以体积为目标、位移为约束的优化模型。此外，彭细荣等[10]基于几何分析建立了预估破损区域的相关原则，以此准则分析了Jansen和Zhou这两位学者提出方法的优缺点，算例表明了所提准则的合理性。
破损-安全的设计原则作为优化设计的新领域，目前绝大多数还是以柔顺度为目标进行探究。而正如Zhou等[7]所提出的，在破损-安全的设计中主要考虑的约束应该是应力，其次才包括位移。应力直接影响着结构的安全性能，应该是优化中最先考虑的性能约束。然而现有涉及到结合破损-安全设计原则和应力约束的研究少之又少。因此，无论是从理论还是应用的角度来看，针对应力约束下考虑破损-安全设计原则的结构拓扑优化设计都亟需进一步研究。
本文以破损-安全为设计原则，研究应力约束下连续体结构轻质化设计方法。基于层级一模型，将结构局部破损区域中心与单元中心相重合，所有局部破损情况无缝平铺，铺满整个设计域，创建应力约束下体积最小的拓扑模型。数值算例考虑了不同破损状况对结构优化设计的影响，对比分析了破损-安全结构以及传统优化设计结构之间的差别，同时研究了不同破损形状对优化构型的影响。
1 优化问题求解模型
1.1 破损-安全设计原则及破损分布模型
在Melosh等[11]提出的破损-安全的设计概念中，破损-安全结构是结构中随机某个构件发生破损后，整体结构依然满足设计约束条件，即在超静定结构中，假如剩余结构能够承受已经损坏构件原先承担的荷载，直至发现损坏的构件为止，那么构件的损坏就不会引起剩余结构的完全破坏，因此破损-安全结构的特点是多路传力，破损-安全的设计原则从经济角度来看虽然不如传统的拓扑优化设计，但从安全角度来说，破损-安全设计的考虑比单纯追求结构轻质化更有必要。
破损-安全的设计原则与结构鲁棒性[12]相关。鲁棒性设计的原则是：结构设计中的目标效能在不确定性因素作用下对不确定性的干扰敏感度下降。例如，在连续体结构中进行鲁棒性设计[13]，在设计阶段考虑所受载荷的随机干扰变化，通过合理分布材料，使得优化构型对载荷的随机波动不敏感，从而使得拓扑优化构型具有稳定性和可靠性。破损-安全的拓扑优化中破损具有不可预料性和随机性，同时结构中不可能增加无限冗余度，因此破损-安全的拓扑设计实际上也是鲁棒性设计的一种。
针对破损-安全设计，首先需要定义结构破损情况。对于桁架结构而言，可以指定基结构中任一杆件作为结构的局部破损情况，桁架结构有多少根杆件，即有多少种局部破损情况。本文重点关注连续体结构的局部破损情况，在连续体结构的破损-安全优化设计中，损伤存在“局部性”和“随机性”的特点。对于“局部性”特点，本文通过在结构内设定固定形状的损伤区域来表示结构的破损，如图 1所示，破损区域的材料弹性模量为空单元材料对应的弹性模量，即拓扑变量为零时材料的弹性模量。破损区域如图 1白色部分所示，由于工程实际中造成局部破损的原因各异，局部破损的形状和大小各异，为了便于拓扑优化的建模计算，可以结合工程实际问题对破损区域的形状进行简化。
破损的“随机性”特点是指结构发生局部破损的位置事先未知，它可以发生在设计域内的任意位置，因此会有无穷多个结构破损情况，为了使优化可解，需要把无穷分布转变为有限分布。Jansen等[6]为了考虑所有可能的破损情况，令相邻局部破损区域的中心点间距与相邻有限元网格间距相等，即有多少个有限元网格，相应就存在多少种破损情况。虽然该方法考虑了足够多的局部破损状况，但是由于每个破损状况要额外进行一次有限元计算和灵敏度分析，即有多少种破损情况就会有多少次有限元计算和灵敏度分析，显然这种方法的计算成本非常高，但是它将“随机性”问题转变成了可求解的“确定性”问题。
在Jansen的基础上，Zhou等[7]将相邻局部破损区域的中心点距离加大，提出层级一模型和层级二模型：层级一模型是将结构局部破损情况无缝平铺在基结构上，层级二模型是将层级一模型提出的相邻局部破损情况的中点也作为层级二模型中局部破损情况的中心点，设置对应的破损区域，于是层级二模型之间的破损情况数量相较于层级一模型增加。一般情况下，采取将局部破损情况无缝平铺的层级一模型就可以满足工程实际需要，同时其计算成本也会大大降低。
本文采用正方形作为局部破损区域的破损形状，结构破损情况分布模型采用无缝相连平铺整个设计域的层级一模型，图 2显示了8种结构局部破损情况的分布和集合。
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图1 结构的局部破损区域 |
1.2 破损-安全优化模型
在破损-安全的设计原则下，优化列式一般可表述为
式中: ρ为拓扑变量ρe的集合; f为目标函数; g为约束函数; φ为8种结构局部破损情况的集合, 取 φ ={Ωd Ωd =Ω-Dd(d=1, 2, ⋯, D)}, Ω为初始设计域中不含破损的基结构; Dd为第d种结构破损情况; D为优化设计中所考虑的全部结构破损情况; Ωd为包含第d种结构破损区域的初始结构; m为约束函数编号; M为约束函数数目; e为单元编号; N为单元数目; 
为拓扑变量ρe的最小值, 取为10-3。
以应力约束下体积最小化的拓扑设计为例, 把(1)式进一步写为如(2)式所示的优化列式。
式中: ve为第e号单元的体积; σ0为结构初始许用应力; σvm,f,de为在第d种结构局部破损情况和第f组载荷工况作用下, 结构第e号单元的von Mises应力; L为载荷工况总数; D为结构局部破损情况总数。
基于独立连续映射(ICM)法[9], 对材料许用应力进行幂指数惩罚, 则(2)式中应力约束表达式可进一步写为
式中, ε为过滤函数取幂函数时的指数。
当拓扑变量为1时, 第e号单元应力列向量 σ0e可表示为
式中: D0为设计变量为1时单元的弹性矩阵; B为单元中心点处的应变矩阵; ue为第e号单元的位移列向量。
基于应力松弛方案[14], 第e号单元惩罚应力列向量 σe的表达式为
式中, α为应力惩罚因子。
根据(5)式可以进一步写出第e号单元von Mises应力σvme[15]的表达式为
式中
将(6)式代入(3)式可得
根据(3)式和(5)式可以得出, 第d种结构局部破损状况相应的结构在第f组载荷工况下, 第e号单元的应力分量σf,de可表示为
根据(6)式和(9)式可以得出, 第d种结构局部破损状况相应的结构在第f组载荷工况下, 第e号单元的von Mises等效应力σvm,f,de为
式中, 应力约束的数目庞大, 本文采用p范数凝聚函数[16-17]来减少约束数目。
式中, σf,dp为全局p范数应力; p为与凝聚函数相关的参数, 当p的取值趋向无穷大时，σf,dp无限接近于max(σvm,f,de/σ0), 此时(11)式的全局约束变为
由于参数p的取值无法为无限大, 本文在凝聚函数中引入修正系数cp
根据(12)~(13)式, 凝聚化的应力约束为
式中, 
为修正后的全局p范数应力。
1.3 灵敏度分析
根据(14)式, 
对拓扑变量的灵敏度表达式为
根据(11)式, σf,dp对σvm,f,de的灵敏度表达式为
以平面应力优化问题为例, σvm,f,de对第e号单元应力分量{σfex, σfey, τfexy}T的偏导数为
根据(9)式, σf,de对拓扑变量的偏导数表达式为
式中
结构位移列向量ue对拓扑变量的导数为
式中, Le为索引矩阵, 用于从结构整体位移向量中获取第e号单元的单元位移列向量, 即 ue=Le u; K为整体刚度矩阵; F为荷载列向量。
假定载荷不受单元的影响, 并将(20)式代入(18)式, 可得
将(16)~(17)式和(21)式代入(15)式可得
求解伴随问题[17]
则
对拓扑变量的灵敏度可写为
由(2)式可知, 破损-安全的优化设计将可能出现的局部破损情况转化为多工况计算问题来处理。在某个确定载荷工况下, 对于含不同局部缺陷情况的多工况问题而言, 本文采用保守设计的方式, 考虑最不利工况条件以确保得到最优结果。
对于多目标优化函数[f1(x), f2(x), ⋯, fn(x)], 往往需要在多个子目标之间取得平衡, 以确保每个子目标函数都尽可能小。为了实现这一目标, 若各子目标函数具有相同的物理意义和单位, 通常采用最大值最小化策略, 即首先将目标函数中的最大值定义为g(x)=max[f1(x), f2(x), ⋯, fn(x)], 并使其尽可能小, 这样就确保了剩余子目标函数的极小化程度。该方法在一定程度上平衡了各个子目标之间的相互制约关系, 避免了单纯的加权平均法可能导致的权重分配不均问题。
类似地, 在不同破损工况问题中, 每种破损工况中的每个单元都存在一个应力值和灵敏度值, 单元的应力值和灵敏度值可以由所有破损工况中该单元应力和灵敏度的最大值来表示, 并以此作为优化设计的依据。因此在第f组载荷和第d种破损情况下, 结构第e号单元的von Mises应力σvm,fe,max和应力灵敏度dfe,max可表示为
基于ICM法, 以xe=1/(ρe)ε作为设计变量, 得到近似模型
式中
基于对偶理论将(27)式的优化问题转化为对偶规划问题, 对偶模型可写为
式中, λ为拉格朗日乘子。
式中
对目标函数ϕ(λ)进行二阶展开并省略常数项, 近似为对偶二次规划优化模型。
式中
1.4 优化求解策略
为了解决棋盘格和网格依赖等数值不稳定问题, 本文采用密度过滤和灵敏度过滤技术[18-20]来进行针对性处理。(39)式用于对单元的一阶灵敏度和二阶灵敏度进行过滤。
式中：dk表示第e号单元未经过滤的灵敏度数值; dnew表示第e号单元过滤后的灵敏度数值。
为了减少求解过程的波动, 在优化迭代中引入步长m, 使设计变量在每轮优化迭代时在一个很小的范围内发生改变, 拓扑变量ρe和设计变量xe的范围为
2 基于破损分析的优化设计流程
本文的优化设计步骤为:
步骤1 确定结构初始设计域, 对初始设计域进行网格划分, 单元拓扑变量为实体材料, 设置为1。定义ICM算法的相关参数: 过滤半径和泊松比、弹性模量、初始体积等相关材料参数。
步骤2 分别确定第d(d=1, 2⋯, D)种局部破损区域, 将该区域内的材料设置为空材料, 基于(24)式分别对第d种局部破损情况对应的基结构进行有限元分析和灵敏度计算。
步骤3 基于(25)~(26)式计算在第f组载荷工况和第d种破损情况下每个单元的应力和灵敏度值。
步骤4 采用(39)式对灵敏度进行过滤。
步骤5 求解对偶规划问题, 进入内循环。根据(40)~(41)式求解拓扑变量和设计变量的变化范围, 根据(37)~(38)式求解对偶二次规划模型中的R和S矩阵。通过求解模型(36)得到拉格朗日乘子λ, 将λ代入K-T条件中求得x*, 并计算内循环前后2步x*的相对误差。如果(42)式成立, 则终止内循环迭代, 进入步骤6, 否则重新生成模型(36)式, 并重新求解反复迭代, 直至满足(42)式, 此时得到模型的最优解, 进入步骤6
步骤6 由x=1/(ρ)ε计算得到拓扑变量ρ, 完成连续拓扑变量更新, 使用(39)式对拓扑变量进行过滤, 根据过滤后的拓扑变量改变结构构型, 进入下一步外循环迭代, 重复步骤2~6, 直至满足(43)式。
式中：Vl为上轮迭代的结构总体积; Vl+1为本轮迭代的结构体积; τ为收敛参数, 取为10-4。
3 数值算例与分析
3.1 破损形状为正方形的悬臂梁
图 3为悬臂梁的初始设计域, 结构上端固定, 下端中点处作用一个水平方向的载荷, 弹性模量E=2.1×1011 Pa, 泊松比ν=0.3, 质量密度为7 800 kg/m3, 将基结构划分成100×50的矩形四节点单元, 结构的许用应力为130 MPa。结构局部破损区域为25×25, 悬臂梁破损情况分布如图 2所示。
破损-安全最优结构的应力云图如图 4a)所示, 相同工况下传统拓扑优化设计的最优结构的应力云图如图 4b)所示, 可以看出: 传统设计的最优结构中应力分布均匀, 最大von Mises应力位于结构的加载区域, 为60 MPa。破损-安全的最优结构相比于传统结构复杂得多, 明显增加了很多骨架结构, 结构拥有更多冗余, 最大von Mises应力同样位于荷载加载区, 为121 MPa, 满足约束要求。
破损-安全设计原则下的拓扑优化质量迭代曲线与传统优化设计的质量迭代曲线对比如图 5所示。经过优化后, 传统设计下的最优结构质量为0.056 kg, 为初始结构的14.36%, 破损-安全设计下的最优结构质量为0.176 kg, 为初始结构的45.13%, 相较于传统优化设计中增加的结构质量在整个设计域中的占比增加了30.77%, 优化结果表明了破损-安全设计的必要性。
在8种局部破损情况分布模型中, 根据对称性, 选择4个破损情况进行单独分析, 分别选择图 2中的①, ③, ⑥和⑧情况, 被选择的4种局部破损情况基结构示意图如图 6所示。
图 7为每个破损情况下的优化结构的应力云图, 各破损情况下结构质量优化迭代曲线对比如图 8所示。从图 7中可以看出: 在每个破损情况下, 结构都满足约束, 破损情况⑥优化后结构的质量为0.067 kg, 最大应力为123.72 MPa；破损情况⑧优化后结构的质量为0.079 kg，最大应力为60.71 MPa；破损情况①优化后结构的质量为0.050 kg, 最大应力为73.21 MPa；破损情况③优化后结构的质量为0.075 kg, 最大应力为63.78 MPa。破损情况⑥和①在本来应该有杆件穿过的位置(见图 4b))发生了破损, 改变了结构的传力路径, 结构优化构型发生明显改变, 破损情况①和⑥为拓扑优化影响较大的位置, 同时破损情况⑥的最大应力明显大于其他破损情况, 说明⑥为最不利破损工况, 对结构影响最大; 破损情况①为比较不利破损工况, 对结构影响次之。破损情况③和⑧对结构影响较小。
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图3 悬臂梁基结构的初始设计域 |
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图4 悬臂梁在破损-安全设计和传统优化设计下最优结构的应力云图 |
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图5 悬臂梁在破损-安全设计和传统优化设计下的质量迭代曲线 |
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图6 悬臂梁在不同正方形局部破损情况下的基结构示意图 |
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图7 悬臂梁在不同正方形局部破损情况下的应力云图 |
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图8 悬臂梁在不同破损情况下的质量优化迭代曲线 |
3.2 破损形状为圆形的悬臂梁
破损形状为圆形的局部破损情况分布模型如图 9所示。在与3.1节相同的工况下进行破损-安全的结构优化设计, 得到的拓扑优化结构的应力云图如图 10所示, 结构的最大应力为84.74 MPa, 满足约束要求。通过对比图 4a)正方形破损区域的最优结构, 可以发现圆形破损区域得到的拓扑优化构型与正方形破损情况相似, 圆形破损情况的最大von Mises应力小于正方形破损情况的最大应力。两者的优化结构质量迭代曲线对比如图 11所示, 破损区域为圆形的最优结构质量为0.201 kg, 后者优化结构的质量为0.157 kg。出现上述差异的原因主要在于圆形破损区域小于正方形破损区域, 因此结构的最大应力较小。显然, 破损形状对结构优化设计会产生一定的影响, 即破损形状不同, 最优拓扑也不同。因此在工程实际中, 应该根据实际破损情况来进行相应的拓扑优化设计。
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图9 悬臂梁在不同圆形局部破损情况下的基结构示意图 |
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图10 悬臂梁在不同圆形局部破损情况下的应力云图 |
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图11 破损区域为圆形和正方形的悬臂梁结构质量迭代曲线 |
3.3 破损形状为正方形的两端固支结构
图 12为固支梁基结构的设计域, 弹性模量E=2.1×1011 Pa, 泊松比ν=0.3, 质量密度为7 800 kg/m3, 将基结构划分成100×50的矩形四节点单元, 许用应力为70 MPa。结构的局部破损区域为25×25, 两端固支结构的破损情况分布模型如图 2所示。
破损-安全的最优结构的应力云图如图 13a)所示，相同工况下传统的拓扑优化设计的最优结构应力云图如图 13b)所示，可以看出：传统设计的最优结构中应力分布均匀，最大von Mises应力位于结构的加载区域，为63.49 MPa。破损-安全的最优结构相比于传统结构复杂得多，明显增加了很多骨架结构，结构拥有更多冗余，最大von Mises应力同样位于荷载加载区，为64.79 MPa。
破损-安全设计原则下的拓扑优化质量迭代曲线与传统优化设计的质量迭代曲线对比如图 14所示。经过优化后，传统设计下的最优结构质量为0.041 kg，为初始结构的10.51%，破损-安全设计下的最优结构质量为0.106 kg，为初始结构的27.18%，相较于传统优化设计中增加的结构质量在整个设计域中的占比增加了16.67%。
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图12 两端固支结构的初始设计域 |
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图13 两端固支结构在破损-安全设计和传统优化设计下的最优结构应力云图 |
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图14 两端固支结构在破损-安全设计和传统优化设计下的质量迭代曲线 |
4 结论
本文提出了一种考虑破损-安全设计原则的连续体结构拓扑优化方法。该方法在结构上指定多个固定形状的损伤区域，以模拟局部破损模式，采用层级一模型，将破损情况无缝地分布到整个结构上，从而将优化问题转化为局部破损下的多工况优化问题。基于极大值极小化方法，建立以最小化结构体积为优化目标，以应力为约束的拓扑优化模型。结合独立连续映射(ICM)法和固体各向同性材料惩罚(SIMP)模型，建立了相应的优化算法。通过对悬臂梁和两端固支梁等不同结构的优化设计结果进行对比分析，研究了不同破损分布情况和破损形状对优化设计的影响规律。研究结果表明：
1) 相较于传统的拓扑优化设计，考虑破损-安全的优化设计所得到的拓扑优化构型更加复杂，拓扑结构的材料和合理冗余有所增加，对局部破损的敏感性降低，从而提升了结构的安全性能，这表明了在优化设计中考虑破损-安全设计原则的必要性。
2) 结构上不同的局部破损分布情况会对结构的传力路径造成显著影响，从而影响最终的拓扑优化构型，当局部破损分布于完整结构最优设计的关键杆件处时，会对优化结果造成较大的影响，结构的冗余会显著增加以抵抗局部破损的不利影响。因此，在实际工程应用中，可以利用本方法识别最不利的破损分布情况，并对结构进行针对性增强，以提高其可靠性和安全性。
3) 不同的破损形状对结构优化设计也存在一定影响，即随着破损形状不同，最终的优化结果也不同，因此在实际工程应用中应该根据实际破损情况进行相应的优化设计。
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图1 结构的局部破损区域 |
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图2 结构破损情况分布模型示意图[7] |
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图3 悬臂梁基结构的初始设计域 |
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图4 悬臂梁在破损-安全设计和传统优化设计下最优结构的应力云图 |
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图5 悬臂梁在破损-安全设计和传统优化设计下的质量迭代曲线 |
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图6 悬臂梁在不同正方形局部破损情况下的基结构示意图 |
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图7 悬臂梁在不同正方形局部破损情况下的应力云图 |
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图8 悬臂梁在不同破损情况下的质量优化迭代曲线 |
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图9 悬臂梁在不同圆形局部破损情况下的基结构示意图 |
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图10 悬臂梁在不同圆形局部破损情况下的应力云图 |
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图11 破损区域为圆形和正方形的悬臂梁结构质量迭代曲线 |
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图12 两端固支结构的初始设计域 |
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图13 两端固支结构在破损-安全设计和传统优化设计下的最优结构应力云图 |
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图14 两端固支结构在破损-安全设计和传统优化设计下的质量迭代曲线 |
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