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JNWPU
Volume 42, Number 6, December 2024
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Page(s) | 1152 - 1159 | |
DOI | https://doi.org/10.1051/jnwpu/20244261152 | |
Published online | 03 February 2025 |
Symplectic method for the influence of surface effect on thermal buckling of graded porous nanobeams
表面效应对多孔纳米梁热屈曲行为影响的辛方法
School of Science, Lanzhou University of Technology, Lanzhou 730050, China
Received:
8
December
2023
The influences of surface effect on the thermal buckling behavior of graded porous nano-beams were analyzed. Based on the Grutin-Murdoch surface elasticity theory and Euler beam theory, the thermal buckling of graded porous nano-beams was studied by using Hamilton system. In the symplectic space, the buckling problem of gradient porous beams was reduced to the zero eigenvalue problem of the system, and the critical buckling temperature and buckling mode of nano-beams correspond to the symplectic eigenvalue and eigensolution of the Hamiltonian system. It is assumed that the performance of gradient porous materials varies continuously throughout the thickness, and two cosine forms of uneven distribution of porosity along its thickness are considered. By using bifurcation conditions and normalization methods, the critical buckling temperature rise for buckling modes and nano-beams was analytically determined. Finally, the influence of surface effects on the thermal buckling of gradient porous nano-beams was presented in the form of a chart. The results indicate that graded porous nano-beams have significant surface effects. Considering surface effects, the critical thermal load and critical buckling temperature of porous nano-beams will be increased. At the same time, appropriate porosity coefficients and pore distribution can effectively improve the mechanical properties of porous nano-beams.
摘要
为了分析表面效应对多孔纳米梁热屈曲行为的影响, 基于Grutin-Murdoch表面弹性理论和Euler梁理论, 采用Hamilton体系研究了梯度多孔纳米梁的热屈曲问题。在辛空间中, 梯度多孔梁的屈曲问题归结为系统的零本征值问题, 纳米梁的屈曲临界温度和屈曲模态对应于Hamilton体系的辛本征值和本征解。假设梯度多孔材料的性能在整个厚度上连续变化, 并考虑了孔隙率沿其厚度不均匀分布的2种余弦形式, 通过分叉条件及归一化方法解析地给出了屈曲模态和纳米梁发生屈曲的临界屈曲升温。以图表形式呈现了表面效应对梯度多孔纳米梁热屈曲的影响。结果表明: 梯度多孔纳米梁具有十分显著的表面效应。考虑表面效应, 多孔纳米梁的临界热载荷和临界屈曲升温都会提高, 同时, 适当的孔隙率系数和孔隙分布方式可以有效地改善多孔纳米梁的力学性能。
Key words: graded porous materials / nano-beams / surface stress / symplectic method / critical buckling temperature
关键字 : 梯度多孔材料 / 纳米梁 / 表面应力 / 辛方法 / 临界屈曲升温
© 2024 Journal of Northwestern Polytechnical University. All rights reserved.
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随着纳米技术的发展, 越来越多的纳米结构材料被广泛用于微/纳米机电系统中, 作为传感器和致动器装置等[1–2]。实验和原子模拟已经证明[3], 当结构尺寸达到微纳米尺度时, 由于表面面积随着体积比增加, 表面效应变得十分突出。众所周知, 表面效应是导致纳米结构尺寸依赖性行为的原因之一。因为表面相具有和本体相不同的原子排列, 表面层的原子存在残余表面应力或表面弹性模量[4]。
小尺度梁是许多工程应用中使用的基本结构, 如纳米机电系统(NEMS)、纳米探针、原子力显微镜(AFM)、纳米致动器和纳米传感器[5–6]中的许多部件都可以简化为小尺度的纳米梁结构。特别地, 纳米线(棒)由于其独特的力学性能(高比表面积)被广泛应用于各领域, 研究纳米尺度梁结构的力学行为变得至关重要。在解释表面效应方面, Gur和Murdoch(G-M)[7]开创性地提出用于解释尺寸依赖性的表面弹性理论, 此模型也是最早解释纳米结构表面效应的理论。之后, Li等[8]又针对纳米梁提出了结合表面效应的非经典梁理论。Wang等[9]采用G-M模型, 研究了压电纳米线的屈曲和振动等力学行为, 分析了表面效应对屈曲和振动的影响。基于G-M表面弹性理论, Yang等[10]详细分析了表面应力对纳米尺度圆板弯曲及振动频率的影响。
随着航空航天领域对材料提出越来越高的要求, 科学家们引入功能梯度材料的概念, 通过对泡沫材料内部的孔隙梯度设计, 制造了更轻、性能更加优异的梯度多孔材料(FGP), 其特征在于内部孔隙的梯度分布。Magnucki和Stasiewicz[11]基于能量原理, 研究了梯度多孔梁的屈曲临界载荷。Chen等[12]研究了2种模型梯度多孔梁的屈曲问题, 分析了不同孔隙率分布对梁屈曲载荷的影响。Nguyen等[13]采用勒让德-利兹法分析了弹性地基上多孔梁的热屈曲等力学行为。
对微纳米梁结构, 小尺度引起的表面效应及屈曲等力学行为已成为国内外研究的热点领域; 而梯度多孔材料作为一种多功能轻质复合材料, 在航空航天等领域的应用正方兴未艾。文献[14]研究了梯度多孔纳米梁在机械载荷作用下的屈曲以及过屈曲问题, 分析了表面效应对临界载荷的影响。然而, 这一工作是在拉格朗日体系下完成的, 这种经典弹性力学求解方法需将偏微分方程退化为常微分方程, 很难判断其缺陷是否还存在其他形式的屈曲模态。为打破经典弹性力学需要求解偏微分方程的瓶颈, 文献[15]引入Hamilton体系, 采用辛方法研究表面结构稳定性问题。张靖华等[16]利用Hamilton体系研究了功能梯度梁的热动力屈曲问题。
从公开文献调研可知, 采用辛方法研究表面效应如何影响梯度多孔纳米梁屈曲响应的文章较少。因此为了探讨材料梯度多孔纳米梁由于尺度效应引起的表面效应行为以及表面效应如何影响结构的屈曲特性,本文借助Hamilton体系建立梯度多孔纳米梁屈曲问题的辛方法求解过程, 利用Hamilton体系的完备性求解完备的屈曲模态, 分析材料的孔隙率系数和表面效应对多孔纳米梁屈曲行为的影响。
1 梯度多孔材料梁
考虑一个矩形截面的纳米尺度梯度多孔材料梁, 其长度为l, 截面面积为A=b×h(h和b分别代表高和宽)。纳米尺度材料由于具有较大的比表面积, 其表面效应不可忽视, 将表面效应看作一个不考虑厚度的薄膜层模拟, 即模型为多孔材料为主的主体结构(bulk)加表面层(surface)。梁长l沿x轴方向, 其坐标原点在梁的最左端几何中面上。梁受到沿厚度方向的温度场T(z)作用,如图 1所示。
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图1 具有表面效应纳米梁 |
1.1 材料物性参数描述
考虑具有厚度方向梯度分布的2种非均匀孔隙分布模式(见图 2), 即对称分布和非对称分布模式, 分别记为Mode Ⅰ和Mode Ⅱ。
材料的物性参数通常指弹性模量E(z)、密度ρ(z)、热膨胀系数α(z)以及泊松比ν(z)(后文计算中将热膨胀系数和泊松比都看作常数)。将ModeⅠ描述为
对于Mode Ⅱ
式中:e0为弹性模量的孔隙率系数, 也就是材料的孔隙率系数; em为密度的孔隙率系数。e0的定义为e0=1-E0/E1, 0 < e0 < 1。
对于开孔泡沫金属, 其em和e0由(7)式关系进一步推导可得[17]。
由此得到em和e0的关系式为
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图2 梯度多孔材料示意图 |
1.2 温度场描述
描述升温时的温度场有3种, 分别是均匀温度场、线性非均匀温度场以及非线性非均匀温度场。对于梯度多孔材料,可采用线性非均匀温度场
式中: ΔT=Tb[1+(Tr-1)(z/h+1/2)]。Tb和Tt分别代表梁下表面和上表面的温度,Tr=Tb/Tt。特别地,当Tr=Tt/Tb=1时, 该温度场便退化为均匀温度场, 室温取T0=300 K。
2 基本方程
1) 几何方程
2) 本构方程
主体层(bulk phase)材料的热本构关系采用线弹性胡克定理表示为
式中:εxx为材料线应变;εT=αΔT为热应变;κ为曲率。
表面层(surface phase)的本构关系采用G-M表面弹性理论[7]表示为
轴力N和弯矩M分别定义为
结合(12)式, 轴力和弯矩可写为
式中: D为梯度多孔纳米梁的弯曲刚度; NT和MT分别是温度T(z)引起的热轴力和热弯矩。具体表达式为
对于ModeⅠ, , 对于ModeⅡ,
。
2.1 哈密顿体系的建立
引入拉格朗日函数(即动势)L=T-V, 其中动能 , 势能V=Mκ/2+Nε/2。于是该问题中表示能量的Lagrange函数最终写为
式中,。
为避免文献[14]中经典弹性力学方法求解高阶微分的缺陷, 以及求解中可能遇到处理偏微分方程的棘手问题,本文引入了Hamilton体系, 它的优点是利用辛本征展开法研究弹性系统的稳定性, 无需选择屈曲判别准则, 而且容易得到问题的解答。为引入Hamilton体系来表达本文研究的新发现,记变量w=q, , 引入对偶变量
显然, 该对偶变量就是系统的动量。此时哈密顿函数为
Hamilton体系下的对偶正则方程为
在获得控制方程的同时, 利用哈密顿原理还可以得到端部边界条件。对于两端固定的梯度多孔纳米梁, 有
2.2 正则方程的求解
首先进行无量纲化处理, 将梁长l作为特征长度。令
上面定义中的γ为表面弹性的无量纲参数, η为残余表面应力的无量纲量,θ为临界温度特征值。
对偶正则方程的零本征值问题满足 , 得到无量纲形式的正则方程为
齐次线性方程(24)有如(25)式所示的通解
依无量纲边界条件: Q|ξ=0=Q|ξ=1=0, ∂ξQ|ξ=0=∂ξQ|ξ=1=0。方程(24)有非零解的条件为
展开得参数θ满足
采用归一化方法, 可得梯度多孔纳米梁的第n阶屈曲模态
3 数值结果
根据分叉条件计算(27)式, 可得: θ1=39.47, θ2=80.76, θ3=157.91, θ4=238.72, θ5=355.31, θ6=475.60, θ7=631.66, θ8=791.43, θ9=986.96, θ10=1 186.22。将得到的特征值代入屈曲模态(28)式, 可以汇出各阶屈曲模态曲线, 图 3a)为1~3阶屈曲模态图, 图 3b)为4~6阶屈曲模态图。
热轴力的计算方法为
对ModeⅠ梁有
对ModeⅡ梁有
下面分析代表表面效应的表面弹性参数和表面应力对梯度多孔纳米梁热屈曲的影响。事实上, 表面弹出参数和表面残余应力是相关的。纳米梁主体及表面层的相关物性参数见表 1[10]。
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图3 屈曲模态图 |
梁主体和表面层的物性参数
3.1 无表面效应时的屈曲热载荷
对于开孔泡沫金属, 取热膨胀系数α=10.9×10-6 K-1, 纳米梁h=1 nm, l=30 nm, 当γ=0, η=0时, 退化为无表面效应纳米多孔梁的热屈曲模型。热载荷参数τ=αTbδ2, 屈曲临界温度定义为
表 2给出了哈密顿体系下计算的临界热载荷参数和屈曲临界温度。可以看出: 随着材料孔隙率系数的增加, 2种类型分布模型下的临界热载荷和临界升温均减小; 而相同的孔隙率系数下, 非对称模型下的临界升温小于对称模型下的结果。
特别地, 当e0=0时, 本研究退化为均匀材料的纳米梁, 其临界热载荷为τcr=3.289 2, 而文献[18]将Timoshenko梁模型退化为Euler梁模型时, 计算的结果是3.29, 两者十分接近。需要说明的是, 文献[18]采用的是拉格朗日体系, 2种体系下的结果验证了本文计算结果的可靠性和模型的正确性。
为了更清楚地表述2种孔隙模式分布下孔隙率系数e0对临界温度载荷τcr的影响, 图 4给出了e0和τcr的关系曲线图。显然, 2种孔隙分布模式下的τcr都随e0的增加而减小, 且呈现线性关系。随着孔隙率系数增加, 对称和非对称情况下临界温度载荷之间的差值越来越大, 当e0=0.1时, 差值比率只有2.27%, 而e0=0.8时, 差值比率达到24.68%。说明选择不同的孔隙分布方式以及不同的孔隙率系数, 均可以对纳米梁的稳定性进行优化设计。
梯度多孔纳米梁的临界温度载荷τcr和临界屈曲升温ΔTcr
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图4 e0-τcr的关系曲线(无表面效应) |
3.2 表面弹性参数对临界升温的影响
取σ0=0, 即先不考虑表面残余应力, 只考虑表面弹性参数γ对热屈曲的影响,此时有θ=NTl2/(D+0.5bh2ES), 进而可根据各阶屈曲临界升温给定不同的ΔTcr。显然, 这里综合考虑了表面弹性参数和表面残余应力的影响。可计算出各阶屈曲模态下的临界屈曲升温(见表 3)。同样, 当γ一定时, 孔隙对称纳米梁的临界升温高于非对称情况下的。显然, 考虑表面弹性参数时具有更大的临界升温, 说明此时梁具有更大的刚度, 或者说如果不考虑表面弹性参数会低估纳米梁的弯曲刚度。另外, 当材料孔隙率系数一定时, 表面弹性参数γ越大, 梯度多孔梁具有更大的临界升温。这说明表面弹性参数是影响纳米梯度梁失稳的因素之一, 可以通过调整表面弹性参数控制梯度多孔梁屈曲的临界升温。
不同表面弹性参数下梯度多孔纳米梁的临界屈曲升温ΔTcr
3.3 表面残余应力对临界升温的影响
这一部分考虑残余表面应力对梯度多孔纳米梁屈曲的影响。实际上, 从表达式γ=ES/E1h和η=σ0/E1h可以看出, 表面应力和表面弹性参数是关联的, 考虑η必然也考虑了γ。本节计算中仍采用表 1中的物性参数。表 4列出了各个孔隙率系数下的临界屈曲升温(由于篇幅有限,此处仅给出1阶临界屈曲升温)。从表 4中可见: 当e0一定时, 表面残余应力σ0越大, 梯度多孔梁屈曲的临界升温越高; ModeⅠ模型下的临界屈曲升温高于ModeⅡ。这是由于表面残余应力会影响梁的弯曲刚度。因此对于具有纳米尺度的多孔梁, 其表面残余应力是不可忽视的。另外从表 4中还可以看出, 随着材料孔隙系数增加, 梯度多孔梁发生屈曲时的临界升温降低, 且ModeⅡ模型的结果略低于ModeⅠ模型。
为了更加清楚地显示表面弹性参数和表面残余应力对纳米梯度多孔梁临界温度载荷的影响, 以ModeⅠ梁为例, 图 5给了不同表面弹性参数γ下临界屈曲升温ΔTcr随孔隙率e0变化曲线。图中实线代表没有表面效应的情况。由图可知: γ正向增加时, 临界温度增加; 当γ负向减小时, 临界温度减小。这说明表面弹性参数可以使纳米结构变软或变硬。
图 6给出了不同表面残余应力下临界温度载荷随孔隙率系数变化的关系曲线图。图 6同样反映出: 当孔隙率系数一定时, 表面残余应力越大, 纳米梯度多孔梁发生屈曲的临界温度载荷越大, 而表面残余应力一定时, 临界温度载荷随孔隙率系数的增加而单调线性递减。再次说明对于具有纳米尺度的梯度多孔梁, 表面效应在稳定性研究中是不可忽视的重要因素之一。
最后考察纳米梁的几何参数对屈曲临界载荷的影响。纳米梁的长仍为l=30 nm, 高度分别取h=1, 1.5, 2 nm, 其他参数取值与表 1一致。计算得到的表面弹性参数分别为:γ=1.61×10-2, η=1.17×10-2, δ=30;γ=1.07×10-2, η=7.8×10-3, δ=20以及γ=8.0×10-3, η=5.9×10-3, δ=15。图 7为上述参数下, 纳米梁屈曲临界升温τcr随孔隙率系数变化。此时θ = (NT-2bσ0)l2/(D+0.5bh2ES)。显然, 此时综合考虑了表面弹性参数和表面残余应力对纳米梁屈曲的影响。图 7反映出梯度多孔纳米梁屈曲临界升温与梁的尺寸有很大关系。截面高度增加, 意味着梁的长细比减小, 此时纳米梁具有更大的稳定性(临界载荷增加了), 即纳米梁越短粗, 发生屈曲的临界升温越高, 说明纳米梁的稳定性对尺寸效应也十分敏感。同样, ModeⅡ模型的临界升温低于ModeⅠ的临界升温, 随着孔隙率系数的增加, 2种模型的屈曲临界升温差越来越大。
不同表面残余应力下梯度多孔纳米梁的1阶临界屈曲升温ΔTcr1
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图5 不同表面弹性参数下的e0-ΔTcr关系曲线 |
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图6 表面残余应力对e0-τcr的影响 |
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图7 几何参数对e0-ΔTcr关系曲线的影响 |
4 结论
本文研究了表面效应对梯度多孔纳米梁热屈曲失稳的影响。主要结论如下:
1) Hamilton体系下, 梯度多孔纳米梁热屈曲的临界温度和对应的屈曲模态是零本征值问题, 绕开了Lagrange体系需要去求解偏微分方程的困境。
2) 考虑表面效应时, 梯度多孔纳米梁的临界热载荷和临界屈曲升温都高于不考虑表面效应时的相应值。这是因为考虑表面效应时纳米多孔梁具有更大的刚度。
3) 表面残余应力也是纳米梁稳定问题中不可忽视的重要因素, 表面残余应力越大, 纳米梯度多孔梁发生屈曲的临界升温越高。
4) 材料孔隙率系数越大, 纳米梁发生屈曲的临界升温越低, 孔隙非对称分布下的屈曲临界升温低于孔隙对称分布下的屈曲临界升温。
References
- SHAO Y Y, WANG J, WU H, et al. Graphene based electrochemical sensors and biosensors: a review[J]. Electroanalysis, 2010, 22(10): 1027–1036. [Article] [CrossRef] [Google Scholar]
- YOON H J, YANG J H, ZHOU Z, et al. Carbon dioxide gas sensor using a graphene sheet[J]. Sens Actuators B, 2010, 157: 310–313 [Google Scholar]
- FAN S W, HUANG Z P, DUAN H L, et al. Size-dependent Young's modulus in ZnO nanowires with strong surface atomic bonds[J]. Nanotechnology, 2018, 29(12): 125702. [Article] [CrossRef] [Google Scholar]
- WANG J X, HUANG Z P, DUAN H L, et al. Surface stress effect in mechanics of nanostructured materials[J]. Acta Mechanica Solida Sinica, 2011, 24(1): 52–82. [Article] [CrossRef] [Google Scholar]
- LI X F, ZHANG H, LEE K Y. Dependence of Young's modulus of nanowires on surface effect. Size-dependent Young's modulus in ZnO nanowires[J]. International Journal of Mechanical Sciences, 2014, 81: 120–125. [Article] [CrossRef] [Google Scholar]
- ZHANG Z C, LI S R. Thermoelastic damping of functionally graded material micro-beam resonators based on the modified couple stress theory[J]. Acta Mechanica Solida Sinica, 2020, 33(4): 496–507. [Article] [CrossRef] [Google Scholar]
- GURTIN M E, MURDOCH A L. A continuum theory of elastic material surfaces[J]. Archive for Rational Mechanics and Analysis, 1975, 57(4): 291–323. [Article] [NASA ADS] [CrossRef] [Google Scholar]
- LI Q L, ZHANG H K. Influence of surface effect on post-buckling behavior of graded porous nanobeam subjected to follower force[J]. Microsystem Technologies, 2023, 29: 779–791. [Article] [Google Scholar]
- WANG G F, FENG X Q. Effect of surface stresses on the vibration and buckling of piezoelectric nanowires[J]. Eurphysics Letters, 2010, 91(5): 56007. [Article] [CrossRef] [Google Scholar]
- YANG Y, HU Z L, LI X F. Axisymmetric bending and vibration of circular nanoplates with surface stresses[J]. Thin-Walled Structure, 2021, 166: 108086. [Article] [CrossRef] [Google Scholar]
- MAGNUCKI K, STASIEWICZ P. Elastic buckling of a porous beam[J]. Journal of Teoretical and Applied Mechanics, 2004, 42: 859–868. [Article] [Google Scholar]
- CHEN D, YANG J, KITIPORNCHAI S. Elastic buckling and static bending of shear deformable functionally graded porous beam[J]. Composite Structures, 2015, 133: 54–61. [Article] [CrossRef] [Google Scholar]
- NGUYEN N D, NGUYEN T N, NGUYEN T K, et al. A Legendre-Ritz solution for bending, buckling and free vibration behaviours of porous beams resting on the elastic foundation[J]. Structures, 2023, 50: 1934–1950. [Article] [CrossRef] [Google Scholar]
- LI Qinglu, ZHANG Haikun, WANG Siyao, et al. Influence of surface effect on post-buckling behaviors of porous nanobeam[J]. Mechanics in Engineering, 2023, 45(1): 83–89 (in Chinese) [Google Scholar]
- XU Xinsheng, DUAN Zheng, MA Yuan, et al. A symplectic method and dynamic buckling of elastic cylindrical shells under both axial impact and internal or external pressure[J]. Explosion and Shock Waves, 2007, 27(6): 509–514. [Article] (in Chinese) [Google Scholar]
- ZHANG Jinghua, ZHAO Xinxin, LI Shirong. Dynamic buckling analysis of functionally graded beam under thermal shock in Hamilton system[J]. Explosion and Shock Waves, 2017, 37(3): 431–438 (in Chinese) [Google Scholar]
- WATTANASAKULPONG N, CHAIKITTIRATANA A, PORNPEERAKEAT S. Chebyshev collocation approach for vibration analysis of functionally graded porous beams based on third-order shear deformation theory[J]. Acta Mechanica Sinica, 2018, 34: 1124–1135. [Article] [CrossRef] [Google Scholar]
- LI S R, ZHANG J H, ZHAO Y G. Thermal post-buckling of functionally graded material Timoshenko beams[J]. Applied Mathematics and Mechanics, 2006, 27(6): 803–811. [Article] [CrossRef] [Google Scholar]
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图1 具有表面效应纳米梁 |
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