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All issues Volume 42 / No 6 (December 2024) JNWPU, 42 6 (2024) 1099-1110 Full HTML
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Issue
JNWPU
Volume 42, Number 6, December 2024
Page(s) 1099 - 1110
DOI https://doi.org/10.1051/jnwpu/20244261099
Published online 03 February 2025

© 2024 Journal of Northwestern Polytechnical University. All rights reserved.

Licence Creative CommonsThis is an Open Access article distributed under the terms of the Creative Commons Attribution License (https://creativecommons.org/licenses/by/4.0), which permits unrestricted use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original work is properly cited.

高精度的机械臂关节空间轨迹跟踪具有很重要的实际意义, 在工业、航空航天等领域的生产操作中机械臂早已不可或缺。机械臂动力学模型是一个多变量的非线性系统, 且存在参数不确定性，同时系统受到关节摩擦、外部干扰因素的影响, 使得机械臂在进行高精度轨迹跟踪时存在一定困难。因此对机械臂进行关节空间高精度的轨迹跟踪控制显得尤为重要。

现阶段在机械臂的轨迹跟踪控制领域, 国内外学者提出的控制方法包括: 自适应控制[1]、滑模控制(SMC)[2–4]、神经网络控制[5]、模糊逻辑控制[6–7]、鲁棒控制[8]、迭代学习控制[9]、反步控制[10–11]等。这些控制策略都一定程度上提升了机械臂的控制性能。其中, 滑模控制因结构简单、计算量小, 可用于机械臂的关节空间轨迹跟踪控制中。传统的线性滑模鲁棒性不高且存在稳态误差, 为此文献[12–13]引入积分滑模, 增强了控制系统鲁棒性并减小了系统稳态误差。由于滑模控制是一种需要基于具体模型的控制方法, 直接用在机械臂这种具有动力学模型不确定性的系统中, 控制器的效能会大打折扣。为了解决这类问题, 文献[14–15]根据时延估计控制的思想, 将时延估计(TDE)和SMC相结合用于机械臂的轨迹跟踪控制中, 使机械臂动力学模型局部化, 实现无模型控制。但当系统出现短时刻变化较剧烈的状态和因素时, 这种方法会造成时延估计误差增大, 致使控制器性能指标下降。而使用自适应RBF神经网络一方面可避免模型的过度依赖, 另一方面对诸如物理类参数不可知的模型拥有良好的逼近特性。文献[16]利用径向基神经网络(RBFNN)逼近动力学模型中的不确定参数矩阵, 结合非奇异终端滑模为存在不确定项的系统提供了研究方案。文献[17]将RBF神经网络自适应算法应用在连续介质机器人的建模和控制中, 设计RBF神经网络自适应补偿跟踪控制器, 补偿建模不确定性和未知外部干扰, 使系统拥有更好的跟踪性能。但文献[16–17]在考虑系统非线性项时, 对摩擦项和外部干扰估计不够精确, 影响控制效果。文献[18]考虑机械臂受到关节摩擦和外部干扰, 利用模糊控制构造模糊系统, 实现了控制器对关节摩擦和外部干扰的在线补偿，但控制器对模糊控制的模糊机理要求较高, 容易降低控制器效能。

综上所述, 本文结合自适应RBF神经网络、模糊控制、积分滑模的优点, 提出一种机械臂轨迹跟踪复合控制策略, 即基于模糊自适应RBF的机械臂积分滑模控制(FR-ISMC)。该算法的特点是: ①用3组自适应RBF神经网络分块逼近动力学模型中的不确定参数, 实现对权值的自适应整定; ②在积分滑模的基础上结合改进型双幂次趋近律设计鲁棒控制项, 加快跟踪误差的收敛速度, 进一步补偿RBF神经网络的逼近误差; ③对于系统受到的关节摩擦力和外部干扰, 采用模糊控制进行补偿。与文献[19]中提到的整体RBF神经网络滑模控制算法以及文献[20]中提到的分块RBF神经网络滑模控制算法相比, 本文提出的控制方法提高了机械臂关节空间轨迹跟踪的控制精度。

1 模型描述

本文以双关节机械臂为研究对象进行动力学建模, 双关节机械臂物理模型如图 1所示。图 1中机械臂第1个关节长度为l1, 其质量为m1, 定义其关节1转动的角位置为q1; 机械臂第2个关节长度为l2, 其质量为m2, 定义其关节2转动的角位置为q2。

基于Lagrange法, 可建立双关节机械臂的动力学方程[21], 如(1)式所示。

式中: q, , 分别代表机械臂的角位置矢量、角速度矢量、角加速度矢量; M (q)∈ Rn×n是非奇异关节惯性矩阵; ∈ Rn×n是柯氏力和离心力矩阵; G (q)∈ Rn为重力项; ∈ Rn为关节摩擦矩阵; τ ∈ Rn表示关节的控制力矩; τd∈ Rn表示机械臂所受外部干扰向量。

本文的控制目标是设计自适应神经网络模糊补偿积分滑模控制器, 要求是使机械臂的关节角位置q能够更快地跟踪到期望角位置qd, 轨迹跟踪误差应尽可能地趋近于0。

性质1[22]   M (q)表示机械臂动力学方程中的正定惯性矩阵, M (q)∈ Rn×n; 存在正数m1, m2, 满足不等式

性质2[22]   是一个斜对称矩阵, 即

引理1[23]   范数不等式: ‖x‖2≤‖x‖1, 对于向量x =[x1, x2, …, xn], 总是满足

在此说明本文所引用的‖·‖表示2-范数。

引理2[23]   Cauchy-Schwarz不等式, 存在向量空间V中的2个任意向量u和v, 有

thumbnail 图1

双关节机械臂示意图

2 控制器设计

控制器的设计思路可分为三部分: ①选择积分滑模面, 设计积分滑模控制器; ②采用自适应RBF神经网络设计模型逼近项; ③通过模糊控制器设计模糊补偿项。所设计的控制器(FR-ISMC)结构图如图 2所示。

图 2中采用3组自适应RBF神经网络对(1)式中M, C, G逼近后的模型逼近项为 ，对(1)式中F, τd进行模糊补偿后的模型补偿项为 。

thumbnail 图2

控制系统结构图

2.1 积分滑模控制器(ISMC)设计

定义关节期望的角度为qd(t), 其实际的位置角度为q (t), 所以定义跟踪误差

在此引入误差的状态变量ψ1= e, , 并构造出机械臂误差系统的动力学方程

本文的研究基于传统滑模控制, 并在此基础上加入积分项设计出积分滑模面

(8) 式中加入了积分项用以减小稳态误差, 增强了系统鲁棒性。λ>0; μ =diag(μ1, μ2, …, μn)为对角正定矩阵; g(e)为

式中, β为设计参数。

对滑模面r进行求导可得

将(8)式中的 用(7)式的 代替, 可得

(11) 式两边同时乘以M (q), 可以得到

由于实际中角加速度 很难获得, 所以定义辅助变量qr为

根据(13)式可将(12)式重新写成

2.2 RBF神经网络分块逼近不确定参数

RBF神经网络的径向基函数采用如(15)式所示的高斯基函数, 其网络层结构如图 3所示。

式中：ci是RBF神经网络的中心矢量; bi为宽度。表达式f (x)含有本文建立的双关节机械臂所有的模型信息, 在此利用RBF神经网络逼近f (x)。RBF神经网络输入 ; W为其理想权值, W =[w1, w2, …, wn]; h为高斯基核函数, h =[h1, h2, hm]; ε是模型逼近的误差。

采用(15)式的高斯基函数对机械臂动力学模型(1)式中非线性函数M, C, G进行分块逼近, 令神经网络的理想输出分别为MN, CN, GN。即

从动力学参数设计可知, MN, GN的输入为q, CN的输入为 , (16)式中, MN, CN, GN的估计分别用 , , 表示, 权值WM, WC, WG的估计为 , , , 则神经网络逼近结果可以表示为

由此, (14)式可以重新表示为

式中

式中，E为神经网络的逼近误差，可表示为

假设1   不确定项E + τd有一个上界, 表示为‖E + τd‖≤ρ, 其中ρ是一个已知常数。

令 为神经网络实际逼近结果, 即

根据(19)和(21)式可得总的逼近误差, 表示为 , 的表达式为

式中: , , 表示权值误差, 即

thumbnail 图3

RBF神经网络结构

2.3 模糊控制器对 和τd补偿

在2.2节中利用RBF神经网络对(1)式中不确定参数M, C, G进行了模型逼近, 此外, 还存在关节摩擦 和外部干扰τd, 采用模糊补偿方法对其进行模糊逼近。

首先, 定义

由于模糊系统的逼近特性, 采用模糊逼近项 来逼近

模糊补偿控制系统输入为x1和x2, 因此, 设计5组模糊集, 即n=2, i=1, p1=p2=5, 共有p1×p2=25条模糊规则。因此逼近摩擦力和外部干扰的模糊系统可表示为 , 即(25)式。式中, 为模糊补偿控制系统的基函数向量, Ω为模糊补偿控制系统的自适应调节参数。其中 为 维向量, 其第l1, l2, …, ln个元素为

定义隶属函数为

式中, 分别取值为 , , 0, , , i=1, 2, 3, 4, 5;Ai分别是NB，NS，ZO，PS，PB，其中NB表示负大，NS表示负小，ZO表示零，PS表示正小，PB表示正大。

模糊逼近的误差为

基于传统模糊补偿控制器设计模糊系统的自适应律为

2.4 FR-SIMC控制器设计

前述内容中, 已经为机械臂动力学系统(1)式中存在的不确定项以及关节摩擦分别做了针对性补偿。在2.2节和2.3节的研究基础上设计FR-ISMC控制器, 新的控制律设计为

在控制律(30)式的τu中, 引入改进型双幂次趋近律[24], 即

式中, ξ>1, 0 < ζ < 1, k1>0, k2>0, k3>0。

(31) 式在双幂次趋近律和快速幂次趋近律的基础上, 增加了变指数项。当|r|>1时, 第一项-k1|r|ξsign(r)为主导, 可加速趋近滑模面的速率; 当|r| < 1时, 第二项-k2|r|ζsign(r)为主导, 可使系统更快地达到稳态; 加入第三项-k3r可用作减小系统抖振。在相同条件下, 对比双幂次趋近律、快速幂次趋近律及本文采用的改进型双幂次趋近律, 仿真结果如图 4所示。结果表明在初始状态条件相同时即取x0=[0.15 1.15]，改进型双幂次趋近律比快速幂次和双幂次趋近律在逼近滑模面时速率更高、时间更短。

最终控制律τ为

式中: Kp, Ki∈ Rn×n均为正定对角矩阵。τm代表模型补偿项即3组自适应RBF神经网络分块逼近系统的不确定项; τn代表了模糊补偿控制器补偿的摩擦力项; τu为滑模控制项; v为切换控制项, 可抑制干扰、加快趋近速率; 控制律中所含积分项Ki∫rdt可进一步抵消逼近误差和外界干扰对系统的影响。

设计神经网络权值自适应律为

式中, ΠMk>0, ΠCk>0, ΠGk>0, k=1, 2, …, n。

模糊系统的自适应律取(29)式。

thumbnail 图4

滑模运动相轨迹

2.5 控制系统稳定性分析

对本文设计的控制方法, 构造Lyapunov函数为

式中, ΠMk, ΠCk, ΠGk是正定对称矩阵。对Lyapunov函数求导可得

联立(18)式、(24)式、(28)式、(30)式和(32)式, 由于机械臂动态方程拥有斜对称这一特性, , 可将求导后的 表示为

对(36)式分两部分证明, 将其进一步定义为

首先对 这部分进行分析。具体如下

式中, 。再令

所以, (38)式中 项可写为

则对于 有

对(41)式, 取自适应律(29)式, 可得

而对于(42)式, 由于模糊补偿的误差很小, 且若使(36)式中Kp足够大, 即可保证 ≤0。

对于(37)式的 部分, 分析如下

同理

则 可表示为

在此, 定义

将(33)式的自适应律代入(45)式, 并结合krii≥|Ei|, 整理可得

根据引理1~2以及假设1, 有

式中, λmin(v)表示(31)式中的3项系数k1, k2, k3的最小值, 所以可以选取其中较大一项使得λmin(v)大于存在的不确定上界ρ, 即

综上所述, 对控制系统进行稳定性分析后可知: 在(37)式中由于 , , 。根据Lyapunov稳定判据判定, 本文所设计的闭环控制系统渐近稳定。

由于控制律τ中引入了符号函数, 在实际控制中切换函数存在一定的滞后性, 会加剧抖振, 影响控制效果。为减小抖振, 本文采取边界层法削弱抖振, 可将边界层函数加入控制律(32)式的切换控制项v中

由于v中第二项-k2|r|ζsign(r)是系统进入平稳状态后的主导项, 故在该项进行变化。(50)式中

式中, ϑ>0, 表示边界层厚度。

将sign(r)符号函数换做σ(r)函数后, 此时的控制律可写为

此时, 控制系统的稳定性证明同上文一致, 根据Lyapunov稳定性判定, 采用控制律为(52)式的控制系统是渐近稳定的。

3 仿真与实验结果

3.1 仿真结果与分析

本文利用双关节机械臂验证所提出的控制器的有效性。双关机机械臂的动力学方程参数设置为

假设双关节机械臂所受到的摩擦模型为一般模型，即库伦摩擦力+黏性摩擦力, 则摩擦力矩阵可表示为

在此假设双关节机械臂受到的外部干扰和双关节机械臂期望运动轨迹一致, 即外部干扰τd可以定义为2sin(t)+0.5sin(20πt)。

若双关节机械臂系统所受到的关节摩擦力和外部干扰与上述一致, 则采用模糊补偿控制器对二者进行补偿, 效果图如图 5所示。

如图 5所示, 利用模糊补偿控制器对系统进行补偿后, 可有效补偿机械臂在工作中因关节摩擦和外部干扰对控制性能产生的影响。在此基础上, 对本文所设计的FR-ISMC控制器进行仿真验证。

双关节机械臂各关节参数如表 1所示, 本文设计的复合控制器FR-ISMC参数如表 2所示。

RBF神经网络的隐层节点为21个, 基函数宽度bi=1, 基函数中心ci取ci=[-1 -0.9 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1]

为了更好地展现所设计控制方法的优越性, 加入整体RBF神经网络滑模控制算法和分块RBF神经网络滑模控制算法进行对比。对比实验滑模面采用

采用整体RBF神经网络滑模控制算法的控制器设计为

RBF神经网络权值自适应律为 , 其中, 增益矩阵 Γ = ΓT>0。基函数宽度取bi=10, 基函数中心ci=[-1.5 -1.0 -0.5  0  0.5  1.0  1.5]。控制器其他参数如表 3所示。

采用分块RBF神经网络滑模控制算法的控制器设计为

分块RBF神经网络权值自适应律分别取 = ; ; = ; ; 其中, 增益矩阵ΠMk, ΠCk, ΠGk, ΠFk均大于零。基函数宽度取bi=10, 基函数中心ci=[-1.5 -1.0 -0.5  0 0.5  1.0  1.5]。控制器其他参数如表 4所示。

其中(54)式和(55)式中的v取- Knsign(r), Kn取0.3。

双关节机械臂期望轨迹设置为qd=[2sint 2sint]T rad; 关节的初始角度设置为 q0=[0.4 0.3]T rad。将本文设计的控制器(32)式与上述采用整体RBF神经网络滑模控制器(54)式和采用分块RBF神经网络滑模控制器(55)式进行仿真验证，得到的3种仿真对比结果如图 6~9所示。

图 6~7为双关节机械臂在进行关节空间轨迹跟踪时2个关节的角位置和角位置误差控制效果。相较于整体RBF逼近和分块RBF逼近算法, FR-ISMC具有更好的跟踪特性和更小的误差波动。同时在系统收到关节摩擦力和外部干扰时, 本文提出的复合控制策略FR-ISMC有更快更好的轨迹跟踪效果。

通过图 8的力矩对比可以发现，本文设计的控制策略在收敛速度方面要明显优于其他2种控制算法, 能更快更平稳地输出合适的力矩。在达到输出目标的同时, 控制系统的抖振也明显低于分块RBF神经网络滑模控制算法和整体RBF神经网络滑模控制算法。

为进一步减小抖振, 采用控制律(52)式，得到加入边界层函数后的力矩如图 9所示。从图 9中可以发现, 将(31)式第2项符号函数改为切换层函数δ(r)时, 采用本文所设计的控制算法对抖振的削减更为明显, 系统进入平稳状态后, 输出力矩更为平滑。将分块RBF逼近算法、整体RBF逼近算法以及本文设计的FR-ISMC控制器的动态性能进一步对比如图 10所示。

从图 10的树状图中可以明显看出, 本文设计的FR-ISMC复合控制策略的各项动态性能优于整体RBF逼近算法和分块RBF逼近算法。分析图 10a)可知: 本文设计的FR-ISMC复合控制策略的各关节响应时间, 相较于分块RBF逼近算法分别缩短了39.4%, 18.4%, 相较于整体RBF逼近算法分别缩短了62.3%, 31.7%。分析图 10b)可知: 本文设计的FR-ISMC复合控制策略的各关节最大稳态误差, 相较于分块RBF逼近算法分别减小了76.8%, 7.3%, 相较于整体RBF逼近算法分别减小了95.4%, 18.8%。分析图 10c)可知: 本文设计的FR-ISMC复合控制策略的各关节平均稳态误差, 相较于分块RBF逼近算法分别减小了62.7%, 61.2%, 相较于整体RBF逼近算法分别减小了90%, 73.2%。

thumbnail 图5

双关节机械臂受到摩擦和干扰的补偿
表1

机械臂各关节物理参数

表2

本文控制器参数

表3

整体RBF神经网络滑模控制器参数

表4

分块RBF神经网络滑模控制器参数

thumbnail 图6

关节1位置跟踪及误差曲线
thumbnail 图7

关节2位置跟踪及误差曲线
thumbnail 图8

关节力矩曲线
thumbnail 图9

加入边界层函数的力矩曲线对比
thumbnail 图10

控制器动态性能对比

3.2 实验结果与分析

为了验证本文所设计的控制方法在实际操作中的控制效果, 基于3-DOF机械臂平台对本文所设计的控制器进行轨迹跟踪控制实验验证, 机械臂平台组成如图 11所示。

图 11中, 机械臂实验平台由3-DOF机械臂、各关节模组、控制系统及稳压电源组成。机械臂的各关节角度由20 000线的增量式编码器和17位的绝对值编码器控制。根据双关节机械臂模型进行建模, 选取机械臂关节2和关节3进行实验验证。期望轨迹调整为

由于上位机软件的部分功能限制, 本文给出机械臂各关节的轨迹跟踪误差曲线, 误差信号曲线可以反映出机械臂系统轨迹跟踪控制的性能, 实验结果如图 12所示。

机械臂实验平台有2.7 s的响应时间, 2.7 s后机械臂才开始出现动作变化。同仿真实验一样, 将本文设计的控制方法与采用整体RBF神经网络滑模控制算法和采用分块RBF神经网络滑模控制算法进行对比验证。

如图 12所示, 机械臂在初始阶段启动时会存在初始误差和通信延迟, 但在控制器的作用下逐渐收敛到零的邻域内。相较于采用整体RBF神经网络滑模控制算法和采用分块RBF神经网络滑模控制算法, 本文设计的FR-ISMC控制器具有较小的跟踪误差, 且收敛速度快。

以图 12中关节2的轨迹跟踪误差为例, 对比分析分块RBF逼近算法、整体RBF逼近算法以及本文设计的FR-ISMC控制器的动态性能。对比结果如表 5所示。

从表 5中可以很直观地看出采用本文设计的控制方法对关节2进行轨迹跟踪控制时, 各项动态性能都优于整体RBF逼近算法和分块RBF逼近算法。分析表 5中数据可知, 相较于整体RBF逼近算法和分块RBF逼近算法, 本文设计的FR-ISMC复合控制策略的最大稳态误差分别减少了66.1%, 55.8%;平均稳态误差分别减小了68.5%, 59.5%。

综上所述, 本文设计的FR-ISMC控制器在机械臂受到关节摩擦力和外部干扰的影响时, 模糊控制可以补偿这部分外部因素对控制系统性能的影响。同时, 机械臂进行轨迹跟踪时跟踪误差较小, 并且具有较快的收敛速度, 采用本文设计的控制律可有效地减小抖振对系统的影响。实验结果表明, 本文所提出的控制方法能够在实际应用中有效地提高机械臂系统的控制性能。

thumbnail 图11

3-DOF机械臂实验平台
thumbnail 图12

机械臂关节2跟踪误差曲线
表5

关节2的动态性能对比

4 结论

本文主要改进有如下三点:

1) 提出了基于模糊自适应RBF的机械臂积分滑模控制方法, 并基于积分滑模、自适应RBF神经网络以及模糊补偿提出了FR-ISMC控制律。

2) 采用改进型双幂次趋近律设计切换控制项, 并结合积分滑模设计了新型滑模控制项; 通过3组自适应RBF神经网络对机械臂动力学模型不确定项分别进行逼近, 以此设计模型逼近项; 利用模糊补偿控制器补偿了关节摩擦以及外部干扰对机械臂系统所造成的影响。

3) 本文设计的控制器能有效提高机械臂关节空间轨迹跟踪的收敛速度和控制精度, 并且增强了机械臂系统对关节摩擦和外部干扰的鲁棒性。

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All Tables

表1

机械臂各关节物理参数

In the text
表2

本文控制器参数

In the text
表3

整体RBF神经网络滑模控制器参数

In the text
表4

分块RBF神经网络滑模控制器参数

In the text
表5

关节2的动态性能对比

In the text

All Figures

thumbnail 图1

双关节机械臂示意图
In the text
thumbnail 图2

控制系统结构图
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RBF神经网络结构
In the text
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滑模运动相轨迹
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双关节机械臂受到摩擦和干扰的补偿
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关节1位置跟踪及误差曲线
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关节2位置跟踪及误差曲线
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关节力矩曲线
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加入边界层函数的力矩曲线对比
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控制器动态性能对比
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thumbnail 图11

3-DOF机械臂实验平台
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机械臂关节2跟踪误差曲线
In the text

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