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All issues Volume 43 / No 5 (October 2025) JNWPU, 43 5 (2025) 843-852 Full HTML
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Issue
JNWPU
Volume 43, Number 5, October 2025
Page(s) 843 - 852
DOI https://doi.org/10.1051/jnwpu/20254350843
Published online 05 December 2025

© 2025 Journal of Northwestern Polytechnical University. All rights reserved.

Licence Creative CommonsThis is an Open Access article distributed under the terms of the Creative Commons Attribution License (https://creativecommons.org/licenses/by/4.0), which permits unrestricted use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original work is properly cited.

弹道导弹轨迹跟踪是弹道导弹防御中不可或缺的环节，其核心问题是对弹道导弹主动段状态的持续跟踪[1]。精确的弹道导弹主动段状态估计可以为弹道导弹自由段弹道估计和落点估计提供更多可靠信息，具有重要的研究价值，受到世界各国的重视[2]。

当前，针对多级弹道导弹主动段状态估计问题，大多数研究通常基于动力学模型和动力学模板展开。储雪峰[3]讨论了采用不完备推力加速度模板和天基双观测站红外系统进行导弹助推段弹道估计的效果。刘丽丽等[4]采用三维重力转弯模型设计了多级弹道导弹主动段状态/参数联合估计算法，实现了双红外探测器对目标状态的精确估计。许登荣等[5]提出一种基于量测转换的强跟踪输入估计弹道导弹跟踪算法，提高了对多级弹道导弹主动段状态的估计精度。尽管上述方法实现了特定条件下的多级弹道导弹主动段运动状态估计，然而这些方法对先验信息的要求较高，不适用于弹道参数未知的场景。薛高茹等[6]提出基于期望最大化的联合优化算法框架对主动段动力学模型中的未知参数进行估计。张涛等[7]采用三次样条函数描述导弹主动段弹道，采用最大似然估计法将弹道参数估计问题转换为对样条系数和样条节点分布的最优估计问题。上述方法减少了对先验信息的依赖，但并未对多级弹道导弹主动段加速度变化做针对性优化。

在弹道参数未知情况下，为了描述目标的运动状态，学术界和工程界一般采用基于运动学模型的建模方法。常用的运动学模型包括常速度(constant velovity, CV)模型、常加速度(constant acceleration, CA)模型、Singer模型、当前统计(current statistics, CS)模型、Jerk模型等[8]。相比而言，当采用上述模型作为单一模型描述目标的运动状态时，CS模型具有更强的泛用性[9]，但其同样存在某些缺点，如需要根据先验信息设置参数、跟踪弱机动目标效果较差等问题。Jiang等[10]通过引入RLSN算法来预测弹道导弹加速度，解决了传统CS模型需要设置目标加速度极值的问题。Sun等[11]提出了采用支配隶属度函数自适应调整CS模型机动频率的策略，有效改善了对机动目标的跟踪效果。李凡等[12]将CS模型与具有周期特性的二阶正弦波相关模型相结合，提高了对临近空间高超声速跳跃滑翔式目标机动变化的适应能力。黄景帅等[13]基于正交原理思想实现了模型中机动频率参数的自适应，对高超声速滑翔目标的阶跃机动和连续幅值变化的机动做了针对性优化，提高了弹道估计的精度。贺杨超等[14]在CS模型加速度方差自适应算法基础上，对CS模型的加速度方差设计了缩放策略，增强了模型估计再入目标高强度机动弹道的适用性，并采用粒子群算法对模型参数进行了优化。上述改进型CS模型提高了传统CS模型的自适应能力，但不适用于跟踪多级弹道导弹主动段加速度的复杂变化。此外，交互式多模型(interacting multiple model, IMM)结构可以通过多个模型来协同模拟目标运动[15-18]，但不合适的模型集不仅会增加计算量[19]，而且会降低弹道估计的精度和稳定性[20]。

多级弹道导弹主动段运动本质上是一个变质量运动过程[4]，呈现出加速度缓变和突变相结合的复杂特点，即在各级火箭发动机工作时加速度随质量的变化而缓慢变化；同时在主动段级间分离时，加速度由于各级火箭发动机开关机会发生突变。针对多级弹道导弹弹道参数缺乏、主动段加速度变化呈现缓变和突变相结合的复杂特点，本文提出了一种改进的自适应CS模型，通过将加加速度引入目标加速度方差计算以及引入目标机动检测函数，实现了模型中的目标加速度方差和机动频率的自适应调整，增强了模型对目标加速度缓变和突变的估计能力，提高了对多级弹道导弹主动段的估计精度。

1 目标跟踪模型

本文以某型多级弹道导弹为研究对象，其主动段包括三级助推段，当一级、二级火箭发动机燃烧结束后，该级火箭发动机会与弹体分离，同时下一级火箭发动机开始点火。由于高速移动的观测站与目标距离较远，因此本文仅使用红外传感器测得的方位角和俯仰角作为观测量。

图 1给出了分离式红外观测器与目标的相对运动示意图，目标发射坐标系oxyz的ox轴为发射平面与水平面的交线, 指向发射方向; oy轴垂直于x轴并沿垂线向上; oz轴由右手定则决定。odxdydzd为弹道坐标系, 其中odxd与速度矢量重合; odyd轴位于铅垂面且垂直于odxd轴; odzd轴由右手定则决定。

本文采用的多级弹道导弹主动段跟踪模型由目标状态方程和量测方程组成。

thumbnail 图1

观测器与目标的相对运动示意图

1.1 目标状态方程

假设弹道导弹主动段运动在同一射面内, 即认为主动段法向运动较小, 发射轨迹限制在发射平面内。目标主动段动力学模型由(1)式给出。

(1)

式中: Vx, Vy分别表示多级弹道导弹主动段运动过程中在发射坐标系x, y方向上的分速度; P为多级火箭发动机推力, m为多级弹道导弹质量, 二者均为时间的函数; φ为俯仰角; θ为弹道倾角; α为攻角; Cx为阻力系数; q为动压; S为导弹最大横截面积; gx, gy分别表示重力加速度在发射坐标系x, y方向上的分量;分别表示柯氏加速度在发射坐标系x, y方向上的分量;分别表示牵连惯性加速度在发射坐标系x, y方向上的分量; Aφ为放大系数; φpr为程序俯仰角, 是时间的函数; ρ为空气密度, 是飞行高度h的函数。

1.2 观测方程

进一步, 本文给出基于高速分离式观测系统的单-双站观测模型。图 1表明在起始时刻该高速分离式红外观测系统是一个整体od0, 即该时刻等同于单站仅测角状态下的目标观测; 随后经过一段时间飞行后, 该高速分离式红外观测系统分离为2个独立的观测器od1和od2, 并分别向其初始加速度方向运动, 在分离一定距离后保持平行运动。在此过程中, 高速分离式红外观测系统均始终保持对目标的持续观测。

观测方程由(2)式给出。

(2)

式中:Zk为含有噪声的量测量;Vk为零均值高斯白噪声向量序列;h(Xi)由(3)式给出

(3)

式中: αIR为观测俯仰角; βIR为观测方位角; xi, yi, zi分别为发射坐标系下x, y, z方向上观测器odi(i=1, 2)与目标的相对距离。在该高速分离式红外观测系统分离前h(X1)=h(X2), 在分离后h(X1)和h(X2)分别表示观测器od1和od2对目标的观测俯仰角与方位角。通过观测沿标准弹道飞行的多级弹道导弹, 在此基础上添加量测噪声模拟真实观测的方位角和俯仰角。

2 主动段跟踪算法

针对多级弹道导弹主动段呈现出加速度缓变和突变相结合的复杂特点, 在传统的CS模型的基础上本文提出了一种改进的自适应CS模型, 通过引入Jerk模型思想和机动检测函数, 将目标加加速度建模为零均值的一阶马尔科夫过程并引入加速度方差计算, 实现了模型加速度方差和机动频率的自适应调整。

2.1 改进的自适应CS模型

CS模型认为下一时刻目标加速度的取值范围是有限的, 是在当前时刻机动加速度的某一邻域内。CS模型主要特点为采用修正的瑞利分布描述机动加速度的统计特性[9], 通过目标加速度极值与机动频率描述系统过程噪声矩阵, 实现系统过程噪声的自适应调整。目标状态向量为。传统CS模型的目标运动状态方程和量测方程分别为

(4)

式中:Xk+1和Xk分别表示k+1和k时刻的目标状态向量; ak表示加速度均值;Fk为状态转移矩阵;Uk为控制矩阵;Wk为过程噪声,Wk~N(0,Qk);Zk+1表示k+1时刻的量测信息;hk+1(Xk+1)为k+1时刻的非线性量测方程;Vk+1为量测噪声,Vk+1~N(0, Rk)。Fk和Uk的表达式为

(5)

(6)

(7)

(8)

式中:Fx,Fy,Fz分别为发射坐标系下在x, y, z方向上的状态转移矩阵分量;Ux,Uy,Uz分别为发射坐标系下在x, y, z方向上的控制矩阵分量; α为机动频率; σ2为目标加速度方差, 其定义为

(9)

式中:表示k时刻的目标加速度估计值。CS模型采用目标加速度极值与机动频率描述系统过程噪声矩阵Qk

(10)

式中：q的具体形式由文献[9]给出。传统CS模型对目标加速度极值amax设置准确性的依赖程度较高。目标加速度极值amax设置较大时, 当目标机动较小, 此时的值较小, amax与的差较大, 因此目标加速度方差σ2值也会随之增大, 从而导致较大的过程噪声; 当目标加速度极值amax设置较小时, 目标加速度估计值会趋于目标加速度极值amax, 导致估计性能降低。

针对上述问题, 基于多级弹道导弹主动段加速度缓变与突变相结合的特点, 本文改进了传统CS模型的加速度方差自适应缩放策略。首先, k+1时刻的目标加速度ak+1可根据泰勒级数展开为

(11)

式中: ak(n)为k时刻目标加速度的n阶导数; T为传感器采样间隔。将目标加速度最大值amax近似为k+1时刻的目标加速度ak+1，可得

(12)

忽略高阶项可得

(13)

将(13)式代入(9)式可得

(14)

式中:为k时刻目标加加速度的估计值;为k时刻的加速度估计误差, 可以由k时刻滤波器输出的系统状态协方差矩阵Pk中的对应元素近似, 但是当滤波算法收敛达到稳态时,Pk会收敛于一极小值。此时若目标发生机动,Pk值不会随之改变, 模型也就丧失了对目标突变状态的跟踪能力[21]。因此为了避免上述问题, 本文中由k时刻滤波器输出的加速度估计值乘以修正系数Ck(0＜Ck≤1)近似, 即

(15)

当Ck选择合理时, 通过迭代可以使趋近于真值。考虑到传统CS模型无法求得目标的加加速度, 这里借鉴Jerk模型的思想求取(14)式中k时刻目标加加速度的估计值, 将目标加加速度建模为零均值的一阶马尔科夫过程。

(16)

移项后可得

(17)

式中:和分别为k-1和k时刻目标加速度的估计值;和分别为k-1和k时刻目标加加速度的估计值。

将(15)式、(17)式代入(14)式可得

(18)

该方法在继承了传统CS模型合理假设的同时, 无需根据先验信息设置目标加速度极值amax, 降低了模型对先验信息的依赖程度。将目标加加速度建模为零均值的一阶马尔科夫过程并引入加速度方差计算使得模型中加速度方差可以根据当前目标机动强度进行实时缩放, 提高了模型对多级弹道导弹主动段加速度缓变与突变的跟踪能力, 有效改善了传统CS模型因为参数设置不准确而造成的误差。

由于传统CS模型中机动频率α是预先设置的, 无法根据目标当前机动情况做出实时调整。因此当模型与目标当前运动状态失配时, 估计性能会显著降低。针对上述问题, 结合多级弹道导弹主动段加速度变化特点, 本文采用机动检测函数实现了模型机动频率α的自适应调整。首先, 在文献[22]的基础上引入检测滑窗构造机动检测函数, 即

(19)

式中:Pk+1|kZZ为量测预测协方差;vk是新息向量; i=1, 2, …, l, l为观测维数; λk表征新息向量协方差与量测预测协方差的最大不对等度; L为检测窗口宽度。引入L的目的是保证对统计信息的充分检测。此处, 在考虑检测充分性的同时保证滤波效率, 因此默认选取L=3。当模型中机动频率与目标实际机动相匹配时候, λk服从自由度为l的χ2分布[23]。当模型中机动频率与目标实际机动不匹配时候, λk值将增大且不再服从自由度为l的χ2分布。根据需求查阅χ2分布表可得到概率值对应的检测门限, 当λk超出检测门限时, 则视为目标发生较大机动, 此时按照(19)式给出的规律自适应调整模型机动频率αk。

(20)

式中: α0为初始机动频率。

2.2 滤波算法

由于目标状态方程与观测函数均为非线性过程, 因此须选用非线性滤波算法进行主动段弹道估计。相比于扩展卡尔曼滤波(extended Kalman filter, EKF)和粒子滤波[24](particle filter, PF), 无迹卡尔曼滤波(unscented Kalman filter, UKF)能够在平衡估计精度和计算时效性的同时省去繁琐的雅克比矩阵运算。因此, 本文选用UKF作为多级弹道导弹主动段弹道估计的滤波算法。多级弹道导弹主动段跟踪算法框架如图 2所示。

图 2展现了基于本文所提出的改进自适应CS模型的滤波算法框架。在基础滤波算法预测与更新两大模块的基础上增加了本文提出的模型加速度方差自适应缩放以及模型机动频率自适应调整两部分, 针对多级弹道导弹主动段加速度缓变与突变相结合的特点做了针对性优化, 提高了算法的适应能力与估计精度。

在处理非线性方程时, UKF算法通过用一系列确定样本对非线性的状态转移方程的概率密度分布进行近似而非对其进行线性化, 然后使用变换后的状态变量进行估计和观测更新。首先通过无迹变换获得2n+1个sigma点xi并计算其权值ω[24]。根据获得的sigma点进行一步预测并计算状态估计协方差矩阵。

(21)

(22)

式中:Q为过程噪声协方差矩阵, 本文由改进的自适应CS模型给出。根据一步预测均值和状态估计协方差矩阵Pk+1/k对sigma点进行重采样, 产生新的sigma点集xk+1/k(i)。将重新生成的sigma点集用于近似非线性的观测方程, 本文中为分离式观测系统中红外传感器测得的目标方位角和俯仰角。得到观测量的估计均值, 同时计算量测协方差矩阵Pzz、状态和量测的交叉协方差矩阵Pxz。

(23)

(24)

(25)

随后, 计算卡尔曼增益。

(26)

更新系统的状态估计值和估计误差协方差矩阵。

(27)

(28)

式中:Zk+1为k+1时刻的观测量。

thumbnail 图2

滤波算法框架

3 仿真验证与分析

为了验证本文提出的改进自适应CS模型在分离式高速红外观测器观测条件下对多级弹道导弹主动段轨迹的跟踪精度以及可靠性, 采用数值仿真对本文提出的改进自适应CS(improved adaptive CS, IACS)模型进行仿真, 并与文献[14]提出的自适应的CS(adaptive CS, ACS)模型、传统CS模型[9]进行对比。为了保证对比结果的公平准确, 3种模型均采用UKF, 且分别进行100次的蒙特卡洛仿真, 采用均方根误差(RMSE)和误差均值进行分析。

各项仿真参数设置为: 目标主动段飞行时间186.4 s, 其中第一级火箭发动机燃烧时间61.6 s, 第二级火箭发动机燃烧时间65.2 s, 第三级火箭发动机燃烧时间59.6 s。初始机动频率α设置为0.02。高速分离式观测系统在分离前后均做速度约为7 190 m/s的匀速运动。观测器在15 s时开始分离, 分离时间为15 s, 分离完成后观测基线为20 km; 红外观测器测角精度为0.02°。其余仿真参数如表 1所示。

为了评价滤波算法的有效性, 本文采用(29)式所示的滤波有效性评价函数。

(29)

式中: σk表示k时刻的滤波算法有效性评价值;P0为初始误差协方差矩阵。Pk为k时刻的误差协方差矩阵, 该函数可以在一定程度上反映当前滤波算法的有效程度, 且计算量较小, 可以在线实时使用。

图 3展示了IACS、ACS以及CS模型对多级弹道导弹主动段位置和速度的估计误差。

由图 3可以看出, 在观测器未分离时相较于ACS和CS模型, IACS模型可以较好地抑制滤波发散的趋势, 并且在观测器分离后可以快速收敛。IACS模型初始阶段位置跟踪误差峰值仅为ACS模型的82%, CS模型的65%;IACS模型初始阶段位置跟踪误差峰值则为ACS模型的50%, CS模型的28%。在主动段级间切换时, IACS模型可以快速反应, 迅速降低估计目标加速度突变产生的估计误差, 显著优于ACS和CS模型, 其中IACS模型位置跟踪误差不超过5.2 km, 低于ACS和CS模型的位置跟踪误差7.7 km; 而IACS模型速度跟踪误差则不超过0.45 km/s, 与CS模型持平, 低于ACS模型的速度跟踪误差0.63 km/s。在估计主动段末状态时, IACS模型的精度也远高于ACS和CS模型。由于角度测量量为非瞬态响应量, 目标主动段末状态的机动突变无法及时检测, 因此ACS与CS模型产生了较大的峰值误差, 并出现了轻微的发散趋势。而在末状态时, IACS模型的位置跟踪误差和速度跟踪误差可分别收敛至0.23 km和0.03 km/s。

图 4展示了3种模型对多级弹道导弹主动段在发射坐标系x, y, z方向上加速度分量的跟踪情况。由图 4可以看出多级弹道导弹主动段同时存在加速度缓慢变化和加速度突变的阶段, 这就要求模型既可以稳定跟踪弱机动目标, 又能够对目标加速度突变做出响应。相较于ACS以及CS模型, 本文提出的IACS模型可以较好地跟踪多级弹道导弹主动段加速度。在整个主动段期间, CS模型对目标加速度的估计值一直波动较大, 相比于另外2种算法收敛性较差。ACS模型在主动段级间切换时, 收敛速度较慢, 误差峰值大, 且在主动段末状态时有轻微的发散趋势。本文提出的IACS模型在主动段级间切换时对目标加速度估计较为平滑, 收敛时间和误差峰值显著优于ACS和CS模型; 在每一级火箭发动机燃烧期间对目标加速的估计值波动较小, 相比于另外2种模型对目标加速度估计精度更高。

图 5展示了3种模型对多级弹道导弹主动段轨迹的拟合情况, 可以看出主动段全过程中IACS模型对目标轨迹的拟合精度均高于ACS和CS模型。在级间切换时, ACS和CS模型都出现了较大的误差峰值, 且恢复速度较慢。相比而言IACS模型产生的误差较小, 恢复速度较快, 可以较好地跟踪目标加速度突变, 保证整体轨迹跟踪的稳定性。在目标主动段末时刻, IACS模型相比ACS和CS模型可以有效抑制发散趋势, 对目标主动段关机点的位置估计精度较高。

多级弹道导弹主动段关机点的位置和速度等战术参数对导弹后续自由段和再入段的捕获与跟踪是十分重要的信息，因此精确估计目标主动段关机点状态是整个主动段弹道估计的重要一环。表 2展示了3种模型主动段关机点状态误差均值及标准差。

可以明显看出本文提出的IACS算法的关机点位置、速度误差均值和标准差均远低于另外2种算法。ACS模型的关机点位置误差均值和标准差小于CS模型，但是其关机点速度误差均值和标准差略高于CS模型。由此可见，本文提出的IACS模型可以精确地估计多级弹道导弹主动段关机点状态，具有较高的稳定性。

从图 6可知，在观测器未分离时3种模型的有效性系数基本一致；从观测器分离开始，IACS模型的有效性系数开始逐渐增大，并全程高于ACS与CS模型；ACS模型的有效性系数则全程略大于CS模型，并最终趋于一致。其中主动段末状态时，IACS模型的算法有效性系数比另外2个模型高约17%。由图 3~6相对比可以看出本文提出的滤波算法有效性评价函数可以相对有效且直观地反映各模型的跟踪有效程度。

进一步，本文额外给出3条多级弹道导弹主动段轨迹以及滤波结果以支撑该模型的有效性。3条轨迹的机动变轨性能各不相同，主动段总时间分别为146.4, 126.4和106.4 s。根据主动段机动变轨能力排序依次为：轨迹2>轨迹1>轨迹3；而主动段时间排序依次为：轨迹1>轨迹2>轨迹3。因此轨迹2对模型对机动突变的跟踪能力要求最高，而轨迹3对算法收敛速度要求最高。

由图 7可以看出，IACS模型对目标轨迹的拟合精度均高于ACS和CS模型。IACS模型可以较好地适应多级弹道导弹主动段级间切换导致的加速度突变引起的估计误差峰值，保持了整体估计的稳定。进一步，相比于ACS和CS模型，IACS模型可以有效抑制由于多级弹道导弹主动段末状态的机动突变而引起的轻微发散趋势。

不同的初始误差对滤波收敛性以及估计精度存在较大影响。为了验证本文所提算法鲁棒性，图 8给出在初始位置误差为10 km, 速度误差为1 km/s，加速度误差为10 m/s2(工况1)；位置误差为20 km, 速度误差为2 km/s，加速度误差为20 m/s2(工况2)；初始位置误差为5 km, 速度误差为0.5 km/s，加速度误差为5 m/s2(工况3)3种工况下算法的估计效果。由图 8可以看出不同的初始误差对算法收敛性以及最终估计精度影响较小，3种工况下本文所提算法均可以做到快速收敛并保持较高的估计精度，证明了本文所提算法针对不同初始误差的鲁棒性。

表1

初始参数

thumbnail 图3

目标跟踪位置和速度误差
thumbnail 图4

目标加速度跟踪
thumbnail 图5

目标三维轨迹拟合
表2

关机点状态误差均值及标准差

thumbnail 图6

算法有效性系数
thumbnail 图7

目标三维轨迹跟踪
thumbnail 图8

不同初始误差下目标跟踪效果

4 结论

本文提出了一种改进的自适应CS模型，通过在常规CS模型基础上引入Jerk模型思想以及目标机动检测函数，实现了模型中的目标加速度方差和机动频率的自适应调整。仿真结果表明:

1) 在分离式双站红外传感器观测基线较短、观测距离较远的情况下，本方法仍可以有效估计弹道导弹主动段轨迹。

2) 与传统CS模型和对加速度方差自适应缩放的改进CS模型算法相比，本方法提高了对目标主动段轨迹的估计精度和算法收敛速度，尤其是提高了对目标关机点速度的估计精度。

3) 本方法可以有效跟踪多级弹道导弹主动段加速度的缓变与突变，具有一定的机动检测能力。

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All Tables

表1

初始参数

In the text
表2

关机点状态误差均值及标准差

In the text

All Figures

thumbnail 图1

观测器与目标的相对运动示意图
In the text
thumbnail 图2

滤波算法框架
In the text
thumbnail 图3

目标跟踪位置和速度误差
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thumbnail 图4

目标加速度跟踪
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thumbnail 图5

目标三维轨迹拟合
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thumbnail 图6

算法有效性系数
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thumbnail 图7

目标三维轨迹跟踪
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thumbnail 图8

不同初始误差下目标跟踪效果
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