A new efficient method for estimating failure probability function

Hao WANG; Luyi LI; Junchao LIU; Xiukai YUAN

doi:10.1051/jnwpu/20254350869

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Volume 43 / No 5 (October 2025)

JNWPU, 43 5 (2025) 869-877

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Issue		JNWPU Volume 43, Number 5, October 2025


Page(s)		869 - 877
DOI		https://doi.org/10.1051/jnwpu/20254350869
Published online		05 December 2025

JNWPU 2025, 43(5): 869–877

A new efficient method for estimating failure probability function

一种新的失效概率函数高效求解方法

Hao WANG (汪昊)¹, Luyi LI (李璐祎)¹^,2^,3, Junchao LIU (刘俊超)¹ and Xiukai YUAN (袁修开)⁴

¹ School of Aeronautics, Northwestern Polytechnical University, Xi'an 710072, China
² National Key Laboratory of Shock Wave and Detonation Physics, Mianyang 621900, China
³ National Key Laboratory of Aircraft Configuration Design, Xi'an 710072, China
⁴ School of Aerospace Engineering, Xiamen University, Xiamen 361005, China

Received: 25 September 2024

Abstract

Estimation of the failure probability function plays a crucial role in reliability-based optimization design. However, efficiently and accurately estimating the failure probability function remains a challenge. Compared to the traditional double-loop Monte Carlo simulation(DMCS) method, the single-loop probabilistic reanalysis (PRA) method can alleviate the computational dependence of the failure probability function on the distribution parameters of input variables. Nevertheless, for problems involving small failure probabilities, the computational cost of PRA is still impractical for engineering applications. Therefore, to further improve the computational efficiency of the failure probability function, this paper combines importance sampling-based subset simulation(SS-IS) with the PRA method, and proposes a novel SS-IS-based PRA(SS-IS-PRA) method. The proposed method transforms the final small failure probability function into a product of a series of larger conditional failure probability functions and then estimates all conditional failure probability functions simultaneously with a set of input-output samples by virtue of the advantages of the PAR method. Furthermore, considering that the design points under different distribution parameters are normally different, a new strategy for constructing the importance sampling density function in the SS-IS-PAR method is proposed based on the idea of mixed importance sampling. Finally, two examples verify the effectiveness and efficiency of the proposed SS-IS-PRA method.

摘要

失效概率函数的求解在基于可靠性的优化设计中具有重要意义。然而, 如何高效且准确地求解失效概率函数依旧面临巨大的挑战。相对于传统的双层蒙特卡洛模拟(DMCS)方法, 单层概率重分析(PRA)方法虽然能够解除求解失效概率函数的计算量对输入变量分布参数的依赖性, 但对于小失效概率问题, 计算代价依然难以被工程实际所接受。因此, 为了进一步提高失效概率函数的求解效率, 从抽样方法入手, 将子集模拟重要抽样(SS-IS)与PRA方法相结合, 提出了一种基于SS-IS的PRA(SS-IS-PRA)方法。该方法能够将最终的小失效概率函数求解转化为一系列较大条件失效概率函数的乘积, 并借助于PRA的优越性采用一组输入-输出样本同时估计所有的条件失效概率函数。另外, 考虑到不同分布参数下的设计点不同, 还提出了一种新的基于混合重要抽样的重要抽样密度函数构造策略。通过2个算例验证了SS-IS-PRA方法的有效性和高效性。

Key words: structural reliability analysis / failure probability function / probabilistic reanalysis / subset simulation / importance sampling

关键字 : 结构可靠性分析 / 失效概率函数 / 概率重分析 / 子集模拟 / 重要抽样

This is an Open Access article distributed under the terms of the Creative Commons Attribution License (https://creativecommons.org/licenses/by/4.0), which permits unrestricted use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original work is properly cited.

在实际的工程结构中，存在着诸多不确定性因素，例如，材料属性的分散性、加工误差，以及外部工作环境的变化等，都会显著影响结构的可靠性。为了量化这些不确定因素对结构失效的影响，就需要对结构进行可靠性分析。失效概率定义为在随机输入变量X的作用下, 结构的功能函数Y=g(X)小于零的概率。

在随机不确定性框架下, 结构系统随机输入变量的分布参数通常考虑为确定值, 此时失效概率也是一个确定的值。然而, 在基于可靠性的优化设计中, 或者由于信息数据不足无法准确确定随机变量分布参数时, 这些分布参数常常会被定义在一个区间内或者服从某种主观概率分布。此时失效概率将会成为一个关于分布参数的函数, 被称为失效概率函数。

目前关于随机不确定性框架下的可靠性分析方法已经发展得较为成熟, 大致可以分为3类: ①近似解析法, 如FORM[1]、SORM[2]。近似解析方法在面对高度非线性问题以及多失效域问题时，难以得到正确的结构可靠度。②数值模拟方法, 其中基础的方法为蒙特卡洛方法(MCS), MCS方法以大数定律为基础, 有着绝对的收敛性和广泛的适用性。但是对于小失效概率问题, MCS方法的效率极其低下, 因此常常作为各种新方法的对照方法。为了提高数值模拟方法的计算效率, 学者们又提出了许多改进的数值模拟方法, 比如, 重要抽样法、子集模拟法、线抽样、方向抽样[3-10]。③基于代理模型的方法, 常见的代理模型方法有: 响应面法、混沌多项式展开、Kriging模型[11-15]、支持向量机[16]以及人工神经网络[17]等。

以上的各种方法, 都能应用到求解参数不确定情况下失效概率函数的双层法之中[18-20]。为了能够进一步提高失效概率函数的求解效率, 学者们提出了多种求解失效概率函数的单层方法: Au[21]基于贝叶斯理论将失效概率函数转化为扩展失效概率和分布参数的条件联合概率密度函数(probability density function, PDF)的形式, 该方法的难点主要在于求解分布参数的条件联合PDF。针对此难点, Ching等[22]利用极大熵原理估计分布参数的后验分布, 而Yuan等[23]则将后验分布转换为一个积分。不同于基于贝叶斯理论的单层法, Nikolaidis等[24]基于重要抽样原理, 提出了失效概率函数求解的概率重分析方法(PRA)。该方法能够利用一组重要抽样样本对不同参数下的失效概率进行估计。其实, 基于重要抽样原理的失效概率函数计算方法已经被研究人员广泛关注和研究[25-28], 这些方法本质上都利用了相似的原理, 但有着不同的重要抽样PDF的构造和选择方式。然而, 传统PRA方法在构造抽样PDF时, 采用的是最小化平均失效概率方差的思想[24]。这种方法直观有效, 但其计算效率与其他方差缩减技术下的抽样方法相比会相对较低。

因此, 为了进一步提高PRA方法对参数不确定下的失效概率函数的求解效率, 本文从抽样方法入手, 将SS-IS与PRA方法相结合, 提出一种新的基于SS-IS的PRA(SS-IS-PRA)方法。该方法通过将失效概率函数转化为一系列条件失效概率函数的乘积的形式, 进而利用一组重要抽样样本在自适应分层策略下求解各层相应的条件失效概率函数, 最终得到结构的失效概率函数。同时, 为了在每一层中得到适应不同分布参数的重要抽样样本, 本文将混合重要抽样的思想融入现有的SS-IS方法中, 提出了一种新的重要抽样函数构造策略, 以保证能够抽取到各个分布参数下对应的重要样本。

1 概率重分析方法

1.1 概率重分析方法基本原理

假设结构的功能函数为：

(1)

式中，X={X₁, X₂, …, X_{n_X}}为n_X维输入随机变量。极限状态方程g(x)=0将输入变量空间分为失效域F={x: g(x)≤0}和安全域S={x: g(x)>0}两部分。当输入变量的分布参数θ=[θ₁,θ₂, …,θ_{n_X}]^T为一个变量时, 其中θ_i=[θ_i¹, θ_i², …, θ^n_{θ_i}_i]是由第i维输入变量的n_{θ_i}个分布参数组成的向量, 总的分布参数个数记为 , 结构的失效概率会成为一个随θ变化而变化的函数, 称为失效概率函数, 定义如(2)式所示。

(2)

式中，f_X (x|θ)是X的条件联合PDF。

(2) 式可以改写为失效域指示函数I_F (x)的数学期望形式

(3)

式中：I_F (x)为失效域指示函数, 当x∈F时I_F (x)=1, 否则I_F (x)=0；E_f_X [·]为关于f_X (x|θ)的期望算子。

类似于重要抽样的思想, PRA方法利用一个重要抽样PDF代替原本的随机变量PDF, 进而采用一组重要样本去估计不同参数下的失效概率

(4)

式中：θ_I为重要抽样PDF的分布参数; E_h[·]为关于重要抽样PDF的期望算子。

失效概率函数的估计值可以由(5)式得到。

(5)

式中，x_i是由重要抽样PDF h_X (x|θ_I)得到的一组样本, i=1, 2, …, N_I。

(5) 式能够允许通过一组重要抽样样本对不同θ下的失效概率进行估计。

1.2 传统抽样PDF的选择

在PRA的过程中, 重要抽样PDF的选择至关重要, 合适的PDF能够加快失效概率的收敛, 反之则可能导致更低的计算效率。

在传统的PRA方法中, 通过最小化(6)式中平均失效概率的方差来构造抽样PDF。

(6)

式中，f_Θ(θ)为分布参数θ的PDF。

使得平均失效概率方差最小化的PDF如(7)式所示。

(7)

式中，h_{X, Θ}(x, θ)是X和θ的最优联合PDF, 平均失效概率的估计值可以由(8)式得到。

(8)

式中，{x_i,θ_i}是由X和θ的联合PDFf _{X, Θ}(x, θ)=f_X (x|θ)f_Θ(θ)产生的X和θ的样本, i=1, 2, …, N_a; θ_i是服从f_Θ(θ)的样本, 而x_i, 则可以看作是服从X边缘的样本。该积分可由(9)式估计。

(9)

式中，E_Θ[·]是关于分布参数PDFf_Θ(θ)的期望算子,θ_i是由f_Θ(θ)产生的样本i=1, 2, …, N_a。

随机变量X的最优抽样PDF如(10)式所示。

(10)

由最优抽样PDF的定义可知, 以上由PDFf_{X, Θ}(x, θ)产生的N_a个X的样本中, 落入失效域的样本即为由h_X (x|θ_I)产生的样本。

将(9)~(10)式代入(4)式, 可得失效概率函数为

(11)

因此, 针对具体的θ^*对应的失效概率可以由(12)式估计。

(12)

式中:x_j为由h(x|θ_I)产生的样本, j=1, 2, …, N_f; P_f和 f _X (x_j)分别由(8)~(9)式估计。

由(12)式可知, 由于抽取的样本并不依赖于分布参数的特定值, 因此PRA能够仅通过一组样本对不同分布参数θ下的失效概率进行重复估计。

2 SS-IS-PRA方法

2.1 SS-IS

子集模拟方法的基本思想是: 通过引入一系列中间失效事件F_k={x∶g(x)≤b_k}(k=1, 2, …, m), 其中b₁>b₂>…>b_m=0为一系列临界值, 将结构的失效概率转化为一系列条件失效概率的乘积的形式 , 以减少MCS方法在小失效概率问题中指数增长的计算量。

子集模拟中失效概率的表达式可以表示为

(13)

式中，当k=1时, P_k=P{F₁}, 当k=2, 3, …, m时, P_k=P{ F_k|F_k-1}。

SS-IS的思想是: 利用已知的条件样本来选取下一层的抽样中心以高效获取条件样本点, 并逐级构造重要抽样PDF, 最终得到失效概率。其中, 第k(k≠1)层重要抽样中心的选择策略是: 将第k-1层得到的条件样本点中联合PDF最大的点作为第k层的重要抽样中心, 并进行重要样本的获取。

2.2 SS-IS-PRA方法的基本原理

在参数不确定的情况下, 假设θ∈[θ, θ], 其中 θ表示分布参数θ的下界, θ表示分布参数θ的上界, 子集模拟方法可以将最终的失效概率函数表达为一系列中间失效事件的条件失效概率函数乘积的形式。

(14)

式中：P_f(θ)为最终的失效概率函数；P_f^k(θ)表示第k层的条件失效概率函数。

在分布参数具有不确定性的情况下, 当给定中间失效事件的临界值时, 中间失效事件的条件失效概率函数P_f^k(θ)会随着不同分布参数取值而变化, 为了能够采用同一组样本同时估计所有的条件失效概率函数, 本文将PRA的思想引入到SS-IS中。

根据PRA的思想, 第一层的失效概率函数可以表达为(15)式，并可以通过(16)式进行估计。

(15)

(16)

式中，x_i⁽¹⁾是利用随机变量X的边缘PDF得到的样本, i=1, 2, …, N₁; f _X (x_i⁽¹⁾)由(9)式进行估计;θ_j是在产生X的样本时由f_Θ(θ)产生且同x_i一一对应的分布参数样本, j=1, 2, …, N₁。

第k层的条件失效概率函数的表达式为

(17)

式中，E_{h_X^k}[·]为关于第k层的重要抽样PDFh^k _X (x)的期望算子。

采用(18)式估计

(18)

式中，x_i^(k)(i=1, 2, …, N_k, k=2, 3, …, m)是通过第k层的重要抽样PDFh^k _X (x)得到的样本。

最终失效概率函数的估计值可以表示为

(19)

2.3 重要抽样PDF的构造

对于中间层重要抽样PDF的构造方式有很多种, 理论上无论构造何种重要抽样PDF, 在样本量足够的条件下都能得到收敛的失效概率。本文基于混合重要抽样的思想, 提出一种新的参数不确定性下构造中间层(k≥2)重要抽样PDF的方法, 第一层的样本由随机变量X的边缘PDF f _X (x)直接产生。

中间层(k≥2)重要抽样PDF构造及重要抽样样本产生的具体过程如下:

1) 将θ在其变化区间内进行离散[θ₁,θ₂, …,θ_{N_t}]^T。

2) 计算出每一个θ_i(i=1, 2, …, N_t)条件下, 上一层条件样本的联合PDF值, 并取每个参数对应的PDF最大的样本点 , 其中x_maxi^(k-1)=。

3) 在得到一组联合PDF最大值对应的样本点后, 由这一组点进行抽样。在实际运算过程中会发现, 矩阵x_max^(k-1)=内会出现大量的重复点, 因此可以通过赋予(20)式中混合PDF中右边各项不同的权重来表示大量重复的样本点: 假设x_max^(k-1)中有N_d个不重复的样本点,x_s^(k-1)(s=1, 2, …, N_d)中每一个样本都有N_s个重复的点, 易知=N_t。则以x_s^(k-1)作为抽样中心的PDFh^ks _X (x)在混合PDF中的权重即为, 这样h^k _X (x)可以表示为

(20)

式中，h^ks_X (x)为以x_s^(k-1)作为抽样中心的PDF。现假设第k层需要N_k个样本点, 便可以利用每一个抽样中心对应的重要抽样PDFh^ks _X (x), 抽取「α_s×N_k⌉个样本点, 「·⌉为向上取整符号, 最后将其组合起来, 就是h^k _X (x)所对应的样本点。

由以上过程可以看出, 借助于混合抽样的思想, 新的重要抽样PDF能够考虑条件样本对不同参数处失效概率的贡献大小, 因而能够更加合理地产生分布参数条件下中间层的重要抽样样本。

2.4 SS-IS-PRA方法的具体实施步骤

基于2.2和2.3节的原理, SS-IS-PRA方法的实施步骤可总结如下:

1) 将θ在其变化区间内进行离散得到θ_t=[θ₁,θ₂, …,θ_{N_t}]^T

2) 确定自适应分层的中间失效概率P₀。

3) 根据随机变量分布参数的PDFf_Θ(θ)抽取θ的N₁个样本θ⁽¹⁾=[θ₁⁽¹⁾,θ₂⁽¹⁾, …,θ⁽¹⁾_N₁]^T, 再根据每一组分布参数对应的X的条件联合PDFf_X (x|θ_i⁽¹⁾)分别抽取一个随机变量样本x_i⁽¹⁾, 即符合X边缘PDF f _X (x)的样本, i=1, 2, …, N₁。

4) 计算N₁个样本对应的功能函数值[g(x₁⁽¹⁾), g(x₂⁽¹⁾), …, g(x⁽¹⁾_N₁)]^T, 将这N₁个功能函数值按照从大到小的顺序排列, g(x[1]⁽¹⁾)>g(x[2]⁽¹⁾)>…>g(x⁽¹⁾_[N₁]), 取第(1-P₀)N₁个功能函数值作为中间失效事件F₁={x∶g(x)≤b₁}的临界值b₁=g(x⁽¹⁾_{[(1-P₀)N₁]}), 第一层的失效概率函数可以由(16)式估计。

5) 根据2.3节的方法, 从落入失效域F_k-1(k=2, 3, …, m)中的P₀N_k-1个样本点中, 挑选出第k层的抽样中心, 根据(20)式得到第k层的重要抽样PDFh^k _X (x), 进而由h^k _X (x)抽取第k层的重要抽样样本点[x₁^(k),x₂^(k), …,x^(k)_{N_k}]^T。

6) 将这N_k个样本点代入到功能函数中, 得到其功能函数值[g(x₁^(k)), g(x₂^(k)), …, g(x^(k)_{N_k})]^T, 筛选出落入中间失效域F_k-1={x∶g(x)≤b_k-1}内的点[x₁^(k),x₂^(k), …,x^(k)_{N_{F_k-1}}]^T, 并将其功能函数值按从大到小进行排序g(x[1]^(k))>g(x[2]^(k)) >… >g(x^(k)_{[N_{F_k-1}]}), 取第(1-P₀)N_{F_k-1}个功能函数值作为中间失效事件F_k={x∶g(x)≤b_k}的临界值, 那么在F_k-1发生的条件下F_k发生的条件失效概率函数可由(18)式估计。

7) 重复步骤5)~6), 当中间失效事件的临界值b_m≤0时则令b_m=0, 那么第m层的条件失效概率函数可以表示为(21)式，并结束自适应分层。

(21)

8) 最终的失效概率函数估计式可以表示为(19)式。

3 算例

本节将分别使用一个数值算例和一个工程算例来验证本文所提方法的可行性, 并且通过与双层蒙特卡洛DMCS方法、传统PRA方法以及基于增广空间积分的ASI-SS方法[21]进行对比, 最终证明本文所提方法在求解失效概率函数时, 既具有足够的精度, 又提高了求解效率。ASI-SS方法的变异系数由文献[21]中的公式计算得出, PRA以及SS-IS-PRA的变异系数由20次独立的重复计算得到。

3.1 算例1

该算例中包含2个随机输入变量{X₁,X₂},X₁,X₂为相互独立的正态变量,X₁~N(μ₁, 1),X₂~N(μ₂, 1)，有

(22)

考虑μ₁, μ₂均为设计变量, 且μ₁∈[8.5, 10.5], μ₂∈[8.5, 10.5]。图 1~2展示了不同方法得到的失效概率函数。

表 1展示了不同方法下对失效概率函数极值的求解结果, 其中表示失效概率函数的极大值的估计值, 表示失效概率函数的极小值的估计值, 括号中的数表示20次独立计算得到的极值的变异系数, N为样本池的大小，ε表示以DMCS方法为对照解时, 所有分布参数离散点对应的失效概率估计值的平均相对误差。

从表 1中可以看出, 在保证不同方法下得到的失效概率的极值均收敛的条件下, ASI-SS、PRA和SS-IS-PRA方法因为其单层法的优势, 样本池都远远小于DMCS方法。对比PRA和2种基于子集模拟的单层法可以看出, 子集模拟方法与求解失效概率函数的单层法相结合时能够在保证足够精度的条件下有效地减少样本量。再对比2种基于子集模拟的方法, 在效率上, SS-IS-PRA所需要的样本量更少。在精度上, 虽然ASI-SS在极大值的求解上精度略高于本文方法, 但SS-IS-PRA在极小值以及整体的精度上都要优于ASI-SS。并且, 由于ASI-SS采用了MCMC采样, 因此其变异系数会明显大于基于重要抽样的SS-IS-PRA方法。如图 2可知, 在保证极值收敛时, 不同方法得到的失效概率图在趋势上都与DMCS方法相同。

图1

由DMCS方法得到的算例1中的失效概率函数图

图2

由不同方法得到的算例1中的失效概率函数图

表1

算例1中不同方法得到的失效概率函数极值及其平均相对误差

3.2 算例2

在航空应用中, 天线罩结构的主要目的是保护天线或雷达免受恶劣环境的影响, 如外部负载、雷击、冰雹和振动, 同时保持机身空气动力学形状的平滑性。这种结构不仅需要满足严格的电性能要求和空气动力学设计标准, 还必须确保在复杂且恶劣的外部环境下, 天线罩内部系统能够正常运行, 不发生损毁或故障。因此, 对飞机天线罩结构强度设计的可靠性研究显得尤为重要。某飞机上使用复合材料层合板天线罩结构的有限元模型如图 3所示[29], 该模型一共考虑了17个随机输入变量, 其分布均为相互独立的正态分布, 具体分布参数如表 2所示。

考虑天线罩的最大应力不能超过许用应力值, 最终系统失效可以定义为

为了能够使用DMCS得到参考解, 本算例使用500组正态样本输入到有限元模型中, 得到其输出的最大应力。将这些数据输入BP神经网络进行训练, 得到输入输出对应的神经网络模型, 神经网络收敛的误差值定为5×10^-4, 收敛后测试集的拟合优度为0.998 73。最后将神经网络作为系统功能函数进行后续的方法验证。

针对该算例, 考虑2个铺层角[α_-+, α_--]的均值[μ₁, μ₂]为设计变量, 其变化范围: μ₁∈[40, 50]，μ₂∈[-50, -40], 不同方法求得的失效概率极值如表 3所示, 得到的失效概率函数的三维图如图 4~5所示。

表 3所示为不同方法得到算例2的失效概率函数极值及其平均相对误差，括号中的数表示20次独立计算下得到的变异系数。从中可以看出：SS-IS-PRA方法所用到样本量最少。对比PRA方法, SS-IS-PRA方法能够显著地降低计算成本, 并且在极值求解上有着更高的精度和更小的变异性, 在平均误差上要略逊于PRA方法。对比ASI-SS方法, 虽然SS-IS-PRA方法在极小值预测精度上略逊于ASI-SS方法, 但依旧有着更小的计算量, 并且在极大值的精度和平均误差上都要优于ASI-SS方法, 同时具有更小的变异系数。

从图 5中可以看出, 对于隐式功能函数3种单层法依旧能得到相同趋势的失效概率函数。另外, 从失效概率函数的变化图可以看出, 飞机天线罩失效概率较大的情况发生在μ₁的最大值处, 且相较于μ₁, μ₂对失效概率的影响非常小。因此, 在设计中可以考虑加大α_-+的角度以降低天线罩在以静强度为失效模式下的失效概率。而针对α_--则可以减少对其可靠性方面的考量, 更多地从其他设计角度进行分析。

图3

天线罩的有限元模型

表2

算例2中随机输入变量的分布参数

表3

算例2中不同方法得到的失效概率函数极值及其平均相对误差

图4

由DMCS方法得到的算例2中的失效概率函数图

图5

由不同方法得到的算例3中的失效概率函数图

4 结论

1) 为了进一步提高失效概率函数的求解效率，本文提出了一种SS-IS-PRA方法，该方法借助于PRA和SS-IS的优越性，能够在保证精度的同时，大幅提高失效概率函数的求解效率。

2) 所提方法在数值算例以及飞机天线罩结构中的应用表明：无论在显示功能函数还是隐式功能函数的情况下，所提方法在求解失效概率函数方面均表现出较高的准确性和高效性。

3) 相较于传统的PRA方法，所提SS-IS-PRA方法具有相当或者更高计算精度的同时能够大幅减少失效概率函数求解的计算量。

相比于已有文献的ASI-SS方法，所提SS-IS-PRA方法由于在子集模拟过程中采用了重要抽样技术以及一种新的基于混合重要抽样的重要抽样函数构造策略，而非MCMC方法，能够有效避免样本间的相关性，因而在具有更好效率和精度的同时，能够显著提升算法的收敛性。

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All Tables

表1

算例1中不同方法得到的失效概率函数极值及其平均相对误差

算例2中随机输入变量的分布参数

算例2中不同方法得到的失效概率函数极值及其平均相对误差

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All Figures

	图1 由DMCS方法得到的算例1中的失效概率函数图
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	图2 由不同方法得到的算例1中的失效概率函数图
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	图3 天线罩的有限元模型
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	图4 由DMCS方法得到的算例2中的失效概率函数图
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	图5 由不同方法得到的算例3中的失效概率函数图
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