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All issues Volume 43 / No 4 (August 2025) JNWPU, 43 4 (2025) 732-740 Full HTML
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Issue
JNWPU
Volume 43, Number 4, August 2025
Page(s) 732 - 740
DOI https://doi.org/10.1051/jnwpu/20254340732
Published online 08 October 2025

© 2025 Journal of Northwestern Polytechnical University. All rights reserved.

Licence Creative CommonsThis is an Open Access article distributed under the terms of the Creative Commons Attribution License (https://creativecommons.org/licenses/by/4.0), which permits unrestricted use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original work is properly cited.

小模数偏置面齿轮副因其重合度高、结构紧凑、综合成本较低等优点, 在渔线轮、电动工具等产品中得到了广泛应用[1–3]。而在实际应用中, 为提高传动效率, 小模数偏置面齿轮通常具有较大螺旋角, 两侧齿面不一致, 齿形复杂。同时, 由于模数和尺寸较小, 其啮合平稳性对系统各零部件的制造误差、装配误差尤其是面齿轮轴向错位量等都比较敏感, 研究有效的齿面修形设计方法, 是提高小模数面齿轮副啮合性能的有效途径。然而最佳的修形曲面参数往往需要通过大量的模型设计和实验验证评价才能获得, 研制周期长且成本高。目前, 世界著名公司如SHIMANO、DAIWA等通过长期研发, 掌握了大量性能极佳的齿面设计数据, 而国内相关企业研发能力相对落后。因此, 研究有效的逆向设计方法, 从国际高端产品中的小模数偏置面齿轮样品中获取精准的齿面设计参数, 可显著加快研发周期并提高自主研发水平。

针对面齿轮的齿面修形设计方法, 国内外已有诸多学者进行了相关研究。Litvin等[4–5]对面齿轮进行双向鼓形修形, 有效避免了动力传动场合面齿轮副的边缘接触, 提高了轮齿强度。对于小模数偏置面齿轮副, Tsay等[6]研究了沿接触路径修形对接触印痕和传动误差的影响, 提高了轻载面齿轮副的啮合平稳性。Inoue等[1]为保证小模数面齿轮副的传动平稳性, 采用最小化传动误差获取面齿轮齿面的接触路径和接触线修形参数。然而, 这些方法需要经过大量试算和实验评估才能获得优异的参数。

逆向设计可以通过精确测量或三维扫描技术获得齿轮的精确几何数据, 提高设计的准确性和制造的质量。目前对齿轮的逆向设计研究大多针对圆柱齿轮和动力传动场合的面齿轮, 对轻载小模数面齿轮的研究较少。王延忠等[7–8]在面齿轮齿面上规划了测量网格, 通过齿轮测量中心获取测量数据, 得到了实际齿面的法向偏差。李占平等[9]采用NURBS曲面拟合的方式重构了面齿轮的数字化齿面, 保证了型值点处的精度。Yu等[10]采用线激光测量技术获取了圆柱齿轮表面的点云数据, 并建立了重构三维模型, 该模型与坐标测量结果偏差小于2 μm。Wang等[11]研究了基于B样条拟合技术的三坐标测量仪获取大模数面齿轮齿面坐标数据的方法, 与高精度克林贝格齿轮测量中心数据对比, 偏差小于4.5 μm。

虽然采用高精度三坐标测量仪通过接触式测量可以获得精度较高的齿面数据, 但齿面数据中存在噪点, 影响曲面的光顺度, 而采用曲面光顺算法处理或NURBS曲面拟合都会破坏齿面的共轭啮合特性。同时在轮齿四周边界处, 由于倒圆角等因素, 曲面形状急剧变化, 导致该区域无法测量, 使得齿面数据不完整。采用光学扫描测量方法虽然可以获取完整的全齿面数据, 但精度较低, 有时测量误差会大于0.01 mm。因此, 对于小模数偏置面齿轮副, 直接使用测量数据进行齿面重构无法得到较高的啮合平稳性。

针对以上问题, 本文提出了一种基于高精度三坐标测量、修形曲面设计与优化的小模数偏置面齿轮逆向设计方法。该方法运用修形曲面与样品齿轮测量误差曲面的精准逼近, 有效克服了测量曲面数据的不完整、局部缺陷和不光顺性等问题, 为高性能小模数偏置面齿轮的设计与制造提供了一种有效的解决方案。

1 小模数偏置面齿轮理论齿面

小模数偏置面齿轮的齿面是由渐开线圆柱螺旋产形齿轮展成得到的, 如图 1所示。建立偏置面齿轮展成坐标系, 其中坐标系Ss与S2分别被刚性连接在产形齿轮和面齿轮上, zs与z2分别与刀具及面齿轮轴线一致; Sa与Sm为辅助固定坐标系。ψs和ψ2分别为刀具和面齿轮的转动角度, 且满足ψ2=is2·ψs, i2s为刀具与面齿轮之间的传动比; E为面齿轮轴线与小轮轴线间的最短距离(称为偏置距), 设两齿轮轴线夹角为90°, R1和R2分别为面齿轮内外半径。

thumbnail 图1

偏置面齿轮展成坐标系

产形齿轮曲面在坐标系S2中所产生的包络曲面族径矢和法矢分别为

$ \left\{\begin{array}{l} \boldsymbol{r}_2\left(\theta_{\mathrm{s}}, \mu_{\mathrm{s}}, \psi_{\mathrm{s}}\right)=\boldsymbol{M}_{2 \mathrm{~s}}\left(\psi_{\mathrm{s}}\right) \cdot \boldsymbol{r}_{\mathrm{s}}\left(\theta_{\mathrm{s}}, \mu_{\mathrm{s}}\right) \\ \boldsymbol{n}_2\left(\theta_{\mathrm{s}}, \mu_{\mathrm{s}}, \psi_{\mathrm{s}}\right)=\boldsymbol{M}_{2 \mathrm{~s}}\left(\psi_{\mathrm{s}}\right) \cdot \boldsymbol{n}_{\mathrm{s}}\left(\theta_{\mathrm{s}}, \mu_{\mathrm{s}}\right) \end{array}\right. $(1)

式中: $\boldsymbol{r}_{\mathrm{s}}\left(\theta_{\mathrm{s}}, \mu_{\mathrm{s}}\right)$和$\boldsymbol{n}_{\mathrm{s}}\left(\theta_{\mathrm{s}}, \mu_{\mathrm{s}}\right)$是刀具产形齿轮的齿面径矢和单位法矢, θs和μs分别表示刀具齿轮的齿廓参数和齿向参数。M2s是由坐标系Ss到S2的变换矩阵, 如(2)式所示。参考文献[5], 本文对于三维坐标变换, 采用齿轮啮合原理中常用的“4×4”矩阵表达方式, 其中矩阵前3列子矩阵表示新旧坐标轴间的角度关系, 第4列元素用于表示坐标原点的位置变化。另外, 为表达统一, 本文中的三维空间矢量均被扩展为4维, 径矢(rs等)最后一个元素为1, 法矢及速度矢量最后一个元素为0。

$ \boldsymbol{M}_{2 \mathrm{~s}}=\boldsymbol{M}_{2 \mathrm{~m}} \cdot \boldsymbol{M}_{\mathrm{mp}} \cdot \boldsymbol{M}_{\mathrm{pa}} \cdot \boldsymbol{M}_{\mathrm{as}}=\left[\begin{array}{cccc} \cos \psi_2 \cos \psi_{\mathrm{s}} & \cos \psi_2 \sin \psi_{\mathrm{s}} & \sin \psi_2 & -E \cos \psi_2+L_0 \sin \psi_2 \\ -\sin \psi_2 \cos \psi_{\mathrm{s}} & \cos \psi_2 \sin \psi_{\mathrm{s}} & \cos \psi_2 & E \sin \psi_2+L_0 \cos \psi_2 \\ \sin \psi_{\mathrm{s}} & -\cos \psi_{\mathrm{s}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right] $(2)

式中: L0为辅助参数(见图 1), 由(3)式确定。

$ L_0=\sqrt{\left[\left(R_1+R_2\right) / 2\right]^2-E^2} $(3)

共轭齿面在啮合点处的相对速度为

$ \boldsymbol{v}_{\mathrm{s} 2}^s=\left(\boldsymbol{\omega}_{\mathrm{s}}-\boldsymbol{\omega}_2\right) \times \boldsymbol{r}_{\mathrm{s}}-\boldsymbol{\omega}_2 \times \boldsymbol{R} $(4)

式中: ωs和ω2分别是刀具和面齿轮的角速度; 矢量R为坐标系Ss原点Os指向坐标系S2原点O2的矢量, 在坐标系Ss中表示为

$ \boldsymbol{R}=\overrightarrow{O_{\mathrm{s}} O_2}=\left[-E \cos \psi_{\mathrm{s}}, E \sin \psi_{\mathrm{s}}, -L_0, 0\right]^{\mathrm{T}} $(5)

根据空间啮合原理[5]两齿面在接触点的相对运动速度与公法矢相垂直, 得啮合方程为

$ f\left(\theta_{\mathrm{s}}, \mu_{\mathrm{s}}, \psi_{\mathrm{s}}\right)=\boldsymbol{n}_{\mathrm{s}} \cdot \boldsymbol{v}_{\mathrm{s} 2}^s=0 $(6)

将啮合(1)式与(6)式联立, 可得面齿轮齿面的径矢和法矢。求解齿面方程可得面齿轮离散齿面点数据和数值齿面, 根据离散齿面点数据拟合曲面进而可生成全齿模型。

2 面齿轮齿面偏差的精确测量

精确测量是逆向设计中的重要步骤, 其测量结果为后续修形曲面优化提供目标参照曲面。

2.1 测量网格规划

考虑到面齿轮测量误差对整体倾角最为敏感[11], 以齿顶所在平面为xy平面, 以齿轮轴线为z轴建立测量坐标系。

在弧齿锥齿轮的测量中, 通常采用5×9的齿面拓扑网格, 这个测点密度对于弧齿锥齿轮的加工参数调整是有效的。然而小模数偏置面齿轮的齿面修形函数比较复杂, 既有工作齿面修形, 又有过渡曲面修形和四周边界局部修形, 而且齿面精度要求较高(微米级), 因此本文以0.05 mm的标准间距划分测量网格, 如图 2所示。

thumbnail 图2

面齿轮齿面测量的网格规划

图 2中, Δd与Δg分别为齿顶和齿根的收缩量, ΔRout与ΔRin分别为外径和内径的收缩量, 蓝色标记点为齿面中点。

2.2 获取齿面偏差数据

将探头定位到理论齿面中点处并与齿面接触, 以接触点作为基准点。将探头移动到理论齿面某点位矢r*后, 沿该点法矢n*方向移动Δd(视为该点的法向误差值)接触到被测齿面上某点r0*后, 满足

$ \boldsymbol{r}_0^*=\boldsymbol{r}^*+\Delta d \cdot \boldsymbol{n}^* $(7)

按照网格规划依次测量, 记录每个理论齿面点对应的移动距离Δd和实际坐标r0*。图 3为某理论齿面对应的误差形貌图。

thumbnail 图3

测量获得的齿面误差形貌图

由(7)式可知, 将理论齿面点r*按照法矢方向n*移动误差值Δd可得到实际齿面位矢。但直接利用测量数据进行齿面重构存在2点困难: ①未测量区域的误差值未知, 且由于误差曲面形状复杂, 采用外推插值求解偏差较大；②由于测量误差和制造精度等因素的影响, 测量数据存在若干噪点, 导致误差曲面不光顺, 存在局部缺陷, 如图 4所示。

thumbnail 图4

凹面法向误差曲面

因此, 为了获得最佳的重构齿面, 不仅需要保证未测量区域的精度, 也需要减少局部缺陷对重构齿面的不利影响。

3 修形曲面设计

由2.2节可知, 由三坐标测量仪得到的数据存在噪点等局部缺陷, 且不能涵盖整个齿面, 故不能直接用于齿面重构。实际工程应用中, 对小模数偏置面齿轮齿面可采用沿着瞬时接触线和接触路径修形等方式[1–6]加强传动平稳性, 如SHIMANO等公司主要采取此种修形策略。从图 3可以看出面齿轮轮齿的两侧面总体上是沿着对角修形, 凹面在内径齿根和外径齿顶处修形较大; 凸面在内径齿顶和外径齿根处修形较大, 另外存在局部修形。

因此, 根据上述细节特征, 本文分别建立了两侧齿面各部分区域沿着各个方向的修形函数, 最终叠加获得综合修形曲面, 以逼近原始齿面。

3.1 齿面旋转投影

面齿轮齿面旋转投影如图 5所示, 坐标系Sc是偏置面齿轮投影平面上的二维坐标系, 将坐标系S2中的三维齿面点旋转投影到二维坐标系Sc中，即

$ \left\{\begin{array}{l} x_{\mathrm{c}}=\sqrt{x_2^2+y_2^2}-\sqrt{x_{\mathrm{oc}}^2+y_{\mathrm{oc}}^2} \\ y_{\mathrm{c}}=z_2-z_{\mathrm{oc}} \end{array}\right. $(8)

thumbnail 图5

面齿轮齿面投影示意图

式中: xoc, yoc和zoc为理论齿面中点在S2坐标系下3个方向的分量。

图 6是偏置面齿轮齿面在投影曲面的示意图, αP和αQ分别是瞬时接触线y′c和设计接触路径x′c与xc轴正方向之间的夹角; Lrad1和Lrad2分别表示从投影平面中点oc到外径端和内径端的距离; Hrad1和Hrad2分别表示从投影平面中点oc到面齿轮齿根和齿顶的距离。

thumbnail 图6

面齿轮投影平面

3.2 沿瞬时接触线修形函数

如图 7所示, 沿面齿轮理论齿面的瞬时接触线方向进行抛物线修形, 目的是降低安装错位对接触痕迹的影响。图 7中白色区域为不修形区域, 橙色区域为修形区域。L1r和L1t分别为瞬时接触线方向内径齿根段和外径齿顶段的修形长度; δ1r和δ1t分别为内径齿根段和外径齿顶段的最大修形量。

thumbnail 图7

沿瞬时接触线修形示意图

投影曲面上某点到y′c的投影值h′为

$ h^{\prime}=\frac{x_{\mathrm{c}} \sin \alpha_Q+y_{\mathrm{c}} \cos \alpha_Q}{\sin \left(\alpha_P+\alpha_Q\right)} $(9)

在瞬时接触线方向上的修形量最大点位置分别是A和D, 由(9)式求得2点在y′c方向上的投影值分别为hA′和hD′。因此, 可将hA′和hD′视为外径与内径在瞬时接触线方向上的最大修形长度。瞬时接触线方向内径齿根段与外径齿顶段的修形长度L1r, L1t计算公式为

$ \left\{\begin{array}{l} L_{1 \mathrm{r}}=k_{1 \mathrm{r}} \cdot\left|h_D^{\prime}\right| \\ L_{1 \mathrm{t}}=k_{1 \mathrm{t}} \cdot\left|h_A^{\prime}\right| \end{array}\right. $(10)

式中: k1r和k1t为修形长度系数, 当k1r和k1t都为1时, 修形区域最大, 为全齿面修形; 当k1r和k1t都为0时, 为不采用接触线修形。

根据(9)~(10)式建立沿瞬时接触线修形函数

$ \begin{gathered} \delta_1\left(y_{\mathrm{c}}^{\prime}\right)= \\ \left\{\begin{array}{l} a_{1 \mathrm{r}} \cdot\left[h^{\prime}-\left(h_D^{\prime}+L_{1 \mathrm{r}}\right)\right]^2, \quad h^{\prime} < h_D^{\prime}+L_{1 \mathrm{r}} \\ 0, \qquad\qquad\qquad\qquad h_D^{\prime}+L_{1 \mathrm{r}} \leqslant h^{\prime} \leqslant h_A^{\prime}-L_{1 \mathrm{t}} \\ a_{1 \mathrm{t}} \cdot\left[h^{\prime}-\left(h_A^{\prime}-L_{1 \mathrm{t}}\right)\right]^2, \quad h^{\prime}>h_A^{\prime}-L_{1 \mathrm{t}} \end{array}\right. \end{gathered} $(11)

式中: h′为投影曲面上某点在y′c轴上的投影值；a1r和a1t分别为内径齿根段和外径齿顶段的修形系数, 由(12)式确定。

$ \left\{\begin{array}{l} a_{1 \mathrm{r}}=\delta_{1 \mathrm{r}} / L_{1 \mathrm{r}}^2 \\ a_{1 \mathrm{t}}=\delta_{1 \mathrm{t}} / L_{1 \mathrm{t}}^2 \end{array}\right. $(12)

3.3 沿接触路径修形函数

如图 8所示, 沿面齿轮理论齿面的预设接触路径方向进行抛物线修形。L2r和L2t为接触路径方向外径齿根段和内径齿顶段的修形长度; δ2r和δ2t为齿根段和齿顶段的最大修形量。

thumbnail 图8

沿接触路径修形示意图

在坐标系Sc中, 预设接触路径x′c的方程与预设接触线y′c的方程分别为

$ \left\{\begin{array}{l} y_1=-\tan \alpha_Q \cdot x_{\mathrm{c}} \\ y_2=\tan \alpha_P \cdot x_{\mathrm{c}} \end{array}\right. $(13)

投影曲面上某点沿预设接触线y′c方向投影到预设接触路径x′c上的投影距离为

$ \begin{aligned} l^{\prime}= & \frac{\left(y_{\mathrm{c}}+\tan \alpha_P \cdot x_{\mathrm{c}}\right)}{\left(\tan \alpha_Q-\tan \alpha_P\right)} \cos \alpha_Q- \\ & \frac{\left[\tan \alpha_Q \cdot\left(y_{\mathrm{c}}+\tan \alpha_P \cdot x_{\mathrm{c}}\right)\right]}{\left(\tan \alpha_Q-\tan \alpha_P\right)} \sin \alpha_Q \end{aligned} $(14)

在接触路径方向上修形量最大点分别为B和C, 由(14)式求得2点沿预设接触线y′c方向投影到预设接触路径x′c上的投影距离分别为lB′和lC′。则外径齿根段和内径齿顶段的修形长度L2r, L2t为

$ \left\{\begin{array}{l} L_{2 \mathrm{r}}=k_{2 \mathrm{r}} \cdot\left|l_C^{\prime}\right| \\ L_{2 \mathrm{t}}=k_{2 \mathrm{t}} \cdot\left|l_B^{\prime}\right| \end{array}\right. $(15)

式中, k2r和k2t分别为接触路径方向外径齿根和内径齿顶段的修形系数。

根据(14)~(15)式建立沿接触路径修形函数

$ \delta_2\left(x_{\mathrm{c}}^{\prime}\right)=\left\{\begin{array}{lr} a_{2 \mathrm{r}} \cdot\left[l^{\prime}-\left(l_C^{\prime}-L_{2 \mathrm{r}}\right)\right]^2, l^{\prime}>l_C^{\prime}-L_{2 \mathrm{r}} \\ 0, \qquad\qquad\qquad l_B^{\prime}+L_{2 \mathrm{t}} \leqslant l^{\prime} \leqslant l_C^{\prime}-L_{2 \mathrm{r}} \\ a_{2 \mathrm{t}} \cdot\left[l^{\prime}-\left(l_B^{\prime}+L_{2 \mathrm{t}}\right)\right]^2, l^{\prime} < l_B^{\prime}+L_{2 \mathrm{t}} \end{array}\right. $(16)

式中: a2r和a2t分别为内径齿根段和外径齿顶段的修形系数, 由δ2r和δ2t确定; l′为投影曲面上某点沿预设接触线y′c方向投影到预设接触路径x′c上的投影距离。

3.4 沿齿向齿廓局部修形函数

如图 9所示, 在齿顶、齿根、内径端和外径端4个局部位置, 沿齿向和齿廓方向上进行抛物线修形。L3r和L3t为内、外径段的修形长度; δ3r和δ3t为内、外径段的最大修形量。L4r和L4t为齿根和齿顶段的修形长度; δ4r和δ4t为齿根和齿顶段的最大修形量。根据图 6和图 9建立沿齿向方向修形函数

$ \begin{gathered} \delta_3\left(x_{\mathrm{c}}\right)= \\ \left\{\begin{array}{l} a_{3 \mathrm{r}} \cdot\left[x_{\mathrm{c}}-\left(L_{\mathrm{rad} 2}-L_{3 \mathrm{r}}\right)\right]^2, x_{\mathrm{c}}>-L_{\mathrm{rad} 2}+L_{3 \mathrm{r}} \\ 0, \qquad\qquad\qquad L_{\mathrm{rad} 1}-L_{3 \mathrm{t}} \leqslant x_{\mathrm{c}} \leqslant-L_{\mathrm{rad} 2}+L_{3 \mathrm{r}} \\ a_{3 \mathrm{t}} \cdot\left[x_{\mathrm{c}}-\left(L_{\mathrm{rad} 1}-L_{3 \mathrm{t}}\right)\right]^2, x_{\mathrm{c}} < L_{\mathrm{rad} 1}-L_{3 \mathrm{t}} \end{array}\right. \end{gathered} $(17)

thumbnail 图9

沿齿向齿廓方向修形示意图

式中: a3r和a3t为内径段和外径段的修形系数, 由δ3r和δ3t确定。

根据图 6和图 9建立沿齿廓方向修形函数

$ \begin{gathered} \delta_4\left(y_{\mathrm{c}}\right)= \\ \left\{\begin{array}{l} a_{4 \mathrm{r}} \cdot\left[y_{\mathrm{c}}-\left(H_{\mathrm{rad} 1}-L_{4 \mathrm{r}}\right)\right]^2, y_{\mathrm{c}}>-H_{\mathrm{rad} 1}+L_{4 \mathrm{r}} \\ 0, \qquad\qquad\qquad H_{\mathrm{rad} 2}-L_{4 \mathrm{t}} \leqslant y_{\mathrm{c}} \leqslant-H_{\mathrm{rad} 1}+L_{4 \mathrm{r}} \\ a_{4 \mathrm{t}} \cdot\left[y_{\mathrm{c}}-\left(H_{\mathrm{rad} 2}-L_{4 \mathrm{t}}\right)\right]^2, y_{\mathrm{c}} < H_{\mathrm{rad} 2}-L_{4 \mathrm{t}} \end{array}\right. \end{gathered} $(18)

式中: a4r和a4t为齿根段和齿顶段的修形系数, 由δ4r和δ4t确定。

3.5 综合修形

小模数偏置面齿轮齿面综合修形由接触线修形、接触路径修形和齿向、齿廓局部修形叠加而成, 其函数为

$ \delta_{\Sigma}=\delta_1+\delta_2+\delta_3+\delta_4 $(19)

图 10为四部分修形曲面叠加而成的综合修形曲面, 用以拟合测量误差曲面。

thumbnail 图10

综合修形曲面示意图

4 修形曲面优化模型

采用非线性约束优化的方法求解综合修形曲面与实测误差曲面的最佳拟合, 本文建立的优化设计数学模型如(20)式所示, 对于一个轮齿的凹面和凸面需分别建立此模型。以第3节介绍的所有修形参数为设计变量, 并给定各修形参数合适的约束边界作为约束函数, 以实测误差曲面与修形设计曲面在各离散点差值的均方根作为目标函数。

$ \left\{\begin{array}{l} \min f(\boldsymbol{x})=\sqrt{\sum\limits_{(i, j) \in \boldsymbol{I}}\left(\Delta d_{i, j}-\delta_{i, j}\right)^2} \\ \boldsymbol{I}=\left\{i, j \mid z_{i, j}>Z_j(i=1, 2 \cdots m, j=1, 2 \cdots n)\right\} \\ \boldsymbol{x}=\left[\alpha_Q, \alpha_P, L_{1 \mathrm{r}}, L_{1 \mathrm{t}}, \delta_{1 \mathrm{r}}, \delta_{1 \mathrm{t}}, L_{2 \mathrm{r}}, L_{2 \mathrm{t}}, \delta_{2 \mathrm{r}}, \delta_{2 \mathrm{t}}, \right. \\ \left.\quad L_{3 \mathrm{r}}, L_{3 \mathrm{t}}, \delta_{3 \mathrm{r}}, \delta_{3 \mathrm{t}}, L_{4 \mathrm{r}}, L_{4 \mathrm{t}}, \delta_{4 \mathrm{r}}, \delta_{4 \mathrm{t}}\right]^{\mathrm{T}} \\ \text { s.t. } x_{k \min } \leqslant x_k \leqslant x_{k \max } \quad(k=1, 2, \cdots, 18) \end{array}\right. $(20)

式中: Δdi, j为每个测量网格点的法向误差值, i和j表示任意网格点的行号和列号(见图 2); δi, j为每个点的综合修形量; I是参与计算的测量点集合, zi, j为每个测量点的齿高坐标, Zj是第j列测量点对应的过渡曲线齿高坐标, zi, j>Zj表示只有位于工作齿面的网格点参与优化计算(考虑到过渡齿面基本不参与啮合); m和n分别为测量网格的行数和列数; x为设计变量向量, 由第3节可知总设计变量数目为18;xkmin和xkmax为每个设计参数的上下边界。

针对这一变量众多、约束条件复杂的非线性优化问题, 本文采用BFGS内点算法求解, 收敛准则为目标函数f(x)的迭代变化量小于容差ε。典型的修形曲面优化迭代过程如图 11所示, 可以看出优化迭代过程中, 修形设计曲面逐渐逼近测量误差曲面。

thumbnail 图11

修形曲面优化迭代过程

进行修形曲面优化时, 曲面离散点的数量过少不能完整地表达曲面的形态, 而过多会造成优化计算时间和坐标测量时间增加。以齿高方向测量区域1.2 mm为例, 目标函数f(x)容差ε设置为0.01, 计算得到不同网格间距设置条件下的优化计算所需时间(采用的计算机CPU为Intel(R) Xeon(R) W-2265 CPU @ 350GHz)如表 1所示。其中, 当网格间距设置为0.05 mm时, 优化计算时间约为5.5 min。设计人员可结合实验效果情况, 并根据不同目标要求来选择合适的网格间距。

表1

不同标准间距的优化时间

5 实例设计与分析

选取某一参数的小模数偏置面齿轮作为设计对象, 分别采用修形曲面优化方法、测量误差曲面插值方法和自主设计修形方法进行曲面重构, 并进行对比分析。

5.1 修形曲面优化逆向设计实例

表 2列出了某面齿轮基本参数, 该齿轮模数为0.6 mm, 齿宽为3 mm。为完整表示该齿面的特征和变化, 本文以0.05 mm为间距划分测量网格, 即对应的测量离散点数量为23×31。以该齿轮的凹面为例, 采用三坐标测量得到的实际齿面与理论齿面的误差分布如图 3所示。基于图 3的误差数据, 进行优化逆向设计计算。

表2

面齿轮基本参数

表 3列出了优化迭代过程中目标函数值的变化情况, 目标函数值从最初的269.58下降到了28.6。表 4列出了优化得到的最终修形参数。

表3

目标函数迭代过程

表4

优化后的修形参数

为进一步评价优化后的修形曲面对原始误差曲面的拟合程度, 构建两曲面之间的差曲面, 如图 12所示。可以看出, 在工作齿面区域内, 误差值被有效控制在了2 μm以内; 过渡区域内的绝对误差也基本控制在5 μm以内。

thumbnail 图12

优化修形曲面与测量误差曲面之间的差曲面

由于测量区域不能涵盖整个齿面, 因此将优化后的修形参数代入全齿面方程中, 得到全齿面范围的修形曲面, 如图 13所示。全齿面修形曲面与测量误差曲面在工作区域内高度一致, 过渡区域也展现出良好的吻合性, 验证了本模型的有效性。

thumbnail 图13

全齿面修形优化曲面与测量区域的误差曲面

5.2 常规设计方法

采用测量误差曲面插值方法和自主设计修形方法完成全齿面误差曲面的拟合, 并进行拟合效果分析, 为后续对比分析提供曲面数据。

图 14为采用测量误差曲面向外插值求解得到的全齿面误差曲面，由于误差曲面的复杂性，四周外插区域的变化趋势与测量误差曲面不一致，外径齿廓呈逆向减小趋势，内径齿廓呈急剧上升趋势。

thumbnail 图14

插值补全误差曲面与测量误差曲面

图 15为采用测量误差曲面自主设计的修形曲面对比, 可以看出自主设计的修形曲面与误差曲面差别明显, 一致性较差, 在内径齿根处两曲面最大差值为60 μm。

thumbnail 图15

自主设计修形曲面与测量误差曲面

6 试验件加工与啮合实验

为了评估齿面重构后小模数偏置面齿轮的啮合性能, 采用法兰克精密数控铣床加工了第5节中设计的3种重构齿轮, 如图 16所示, 并进行啮合性能对比实验。

thumbnail 图16

小模数偏置面齿轮加工

图 17a)为原样品齿轮的齿面啮合印痕, 图 17b)为采用修形曲面优化的重构齿面啮合印痕。可以看出, 采用修形曲面重构的齿轮与原样品齿轮的接触路径与接触宽度基本相同, 啮合印痕高度一致, 接触区域整体光滑, 无明显摩擦区域, 转动时无振动噪声, 传动性能得以较完整保留。

thumbnail 图17

实验齿轮齿面啮合印痕

图 17c)为采用自主设计修形曲面的重构齿面啮合印痕。可以看出，采用自主设计修形曲面与原样品齿轮的接触路径基本相同，但外径处存在明显的未接触区域，影响平稳性。同时因齿宽中部靠近外径齿根处的修形量不足, 此处靠近过渡曲线处出现了明显的摩擦痕迹, 降低了传动效率, 进而影响齿轮副的啮合手感和使用寿命。

图 17d)为采用插值补全误差曲面的重构齿面啮合印痕。可以看出，采用插值补全误差曲面与原样品齿轮的接触路径基本相同，但由于向外插值导致齿面四周修形量过大，四周方向存在未接触区域，啮合区域缩小。同时, 齿宽中部齿根区域靠近过渡曲线处产生了根部摩擦现象, 严重影响了面齿轮副的重合度和传动性能, 出现了明显的振动噪声。

7 结论

本文针对传统逆向工程方法在处理小模数偏置面齿轮时的局限性, 提出了一种基于修形曲面优化的逆向设计方法。该方法通过修形曲面设计优化逼近测量误差曲面, 实现了对复杂齿形和小尺寸偏置面齿轮的高精度逆向设计。主要结论如下:

1) 提出了小模数偏置面齿轮副沿瞬时接触线、接触路径、齿向齿廓局部修形的综合拓扑修形方式。

2) 建立了修形曲面设计优化模型, 通过迭代求解使得修形曲面在工作齿面区域内与测量误差曲面的相对误差控制在2 μm以内。

3) 采用试验件啮合对比, 验证了采用修形曲面优化的重构齿面与原样品齿轮齿面高度吻合, 而且具有同等优异的性能。

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All Tables

表1

不同标准间距的优化时间

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表2

面齿轮基本参数

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表3

目标函数迭代过程

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表4

优化后的修形参数

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All Figures

thumbnail 图1

偏置面齿轮展成坐标系
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thumbnail 图2

面齿轮齿面测量的网格规划
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thumbnail 图3

测量获得的齿面误差形貌图
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thumbnail 图4

凹面法向误差曲面
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thumbnail 图5

面齿轮齿面投影示意图
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thumbnail 图6

面齿轮投影平面
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thumbnail 图7

沿瞬时接触线修形示意图
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thumbnail 图8

沿接触路径修形示意图
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thumbnail 图9

沿齿向齿廓方向修形示意图
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thumbnail 图10

综合修形曲面示意图
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thumbnail 图11

修形曲面优化迭代过程
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thumbnail 图12

优化修形曲面与测量误差曲面之间的差曲面
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thumbnail 图13

全齿面修形优化曲面与测量区域的误差曲面
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thumbnail 图14

插值补全误差曲面与测量误差曲面
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thumbnail 图15

自主设计修形曲面与测量误差曲面
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thumbnail 图16

小模数偏置面齿轮加工
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thumbnail 图17

实验齿轮齿面啮合印痕
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