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All issues Volume 43 / No 5 (October 2025) JNWPU, 43 5 (2025) 1029-1040 Full HTML
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Issue
JNWPU
Volume 43, Number 5, October 2025
Page(s) 1029 - 1040
DOI https://doi.org/10.1051/jnwpu/20254351029
Published online 05 December 2025

© 2025 Journal of Northwestern Polytechnical University. All rights reserved.

Licence Creative CommonsThis is an Open Access article distributed under the terms of the Creative Commons Attribution License (https://creativecommons.org/licenses/by/4.0), which permits unrestricted use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original work is properly cited.

太空探索活动一直将更低的成本和更高的效率作为飞行器发展的基本要求。但由于技术水平的局限性，航天运输主要使用一次性运载飞行器(expendable launch vehicle, ELV)。近年来，ELV研发的高成本和残骸难处理受到了国际社会的广泛关注[1]。更低成本、更高效率的可重复使用运载器(reusable launch vehicle, RLV)应运而生[2-3]。SpaceX公司猎鹰重型火箭重复使用的成功，掀起了可重复使用飞行器技术研究的热潮。例如SpaceX名为“星舰”(Starship)的运载火箭在搭载“超重”(Superheavy)一子级后，希望能够降低有效载荷的升空成本, 支撑太空旅游或星际移民等多种空间探索任务，进而取得航天技术资源的巨大优势[4-5]。

垂直返回回收方式的优点在于飞行器运载能力损失的影响较小，但制导控制存在关键技术难题[6-7]。着陆制导是类星舰飞行器子级实现垂直返回和重复使用的核心关键技术之一，其主要挑战在于复杂的过程约束和狭窄的终端约束，另外在较大模型偏差下实现高精度软着陆也是任务的核心需求之一。这使得类星舰飞行器的着陆制导成为了一个复杂多约束动态最优控制问题[8-9]，传统上升段或再入段制导方法难以直接套用，亟需新的先进制导方法。

传统工程中采用“离线规划，在线跟踪”的方法解决制导问题[10]，这样的求解方式虽然精确，但受到多种复杂环境的影响，很难满足高动态和多约束条件下制导的自适性和鲁棒性要求。在线轨迹规划技术则能依据飞行状态实时生成可行轨迹，使火箭具备在线实时优化轨迹的能力[11]，因此逐渐成为解决垂直着陆最优制导问题的一种有效途径[12-13]。

相比在线轨迹优化方法中其他的间接或直接方法，以凸优化为核心的直接法近年来蓬勃发展。凸优化方法具有收敛性好、易于程序化和对初值敏感性低等优点[14-16]，并在SpaceX的猎鹰9号等许多试验对象上实现了验证[17]。在凸优化方法中，对原问题进行等价或近似凸化变换，可利用多项式时间收敛的理论优势[18]，目前主要有无损凸化[19]和序列凸化[20]2个凸化手段。考虑到线性化方法的广泛适用性和有效性，序列凸化算法广泛用于垂直着陆轨迹优化问题的研究[21-25]。但序列凸化也在线性化过程中破坏了原问题的结构特性，使得求解高度依赖初始参考轨迹[26]。保留问题约束的重要结构非线性特征，进行具有针对性的线性化处理，是一种可行的效率提升手段[27]。

在类星舰飞行器垂直着陆的复杂问题研究中，由于涉及大量在线迭代计算和数据的存储与调用，在线轨迹优化仍面临可靠收敛难和实时算力弱的巨大挑战。Szmuk团队正在开展的行星着陆制导算法也尚未满足应用耗时需求[8]。在凸优化方法中，离散化能够将原问题转化为有限维数值优化问题，可在箭载计算平台进行求解，其近似精度和收敛特性对在线运算效率有重要影响。对于垂直着陆问题，不同离散化方法分别在计算效率、最优性和约束能力等关键指标上各具优势[28-31]，需要通过仿真对不同离散化方法的运算性能做出有效的对比和评估。

基于上述背景，本文建立了考虑飞行器姿态运动的六自由度翻转着陆阶段数学模型，利用无损凸化和序列凸化对原问题线性化，分析了3种离散化方法的原理及对问题求解效率和精度的影响，选取合适的离散化方法用于实时在线着陆轨迹优化算法。

1 六自由度姿态翻转着陆轨迹优化问题建模

为准确描述飞行器在着陆过程中的状态，本文建立了考虑姿态运动的六自由度翻转着陆模型，在着陆坐标系OXLYLZL和弹体坐标系O′XBYBZB 2个坐标系内进行问题表述, 坐标系的定义详见图 1。

本文认为完整的着陆轨迹优化问题从飞行器完成再入呈“平躺”姿态为起始状态, 最后垂直落在着陆目标点为结束状态, 采用四元数q =[q0, q1, q2, q3]T描述飞行器的姿态以避免奇异现象, 定义方向余弦矩阵WB→L为飞行器状态从弹体坐标系到着陆坐标系的转换矩阵。

(1)

飞行器在着陆过程中发动机开机, 此外还受到引力、气动力等各种力产生的力矩作用, 对火箭进行受力分析后给出六自由度着陆动力学方程为

(2)

式中: rL=[XL, YL, ZL]T表示飞行器在着陆坐标系下的位置分量; vB=[vx, B, vy, B, vz, B]T表示飞行器在弹体坐标系下的速度分量; TB=[Tx, B, Ty, B, Tz, B]T表示发动机在弹体坐标系下的推力分量; AB=[-Ax, B, Ay, B, 0]T表示气动力在弹体坐标系下的分量, 在此模型中引入攻角描述气动阻力, 暂不考虑横向力影响, 认为轴向力和法向力都是攻角的函数, 给出气动力计算公式如(3)式所示。

(3)

式中：q表示动压；Sref表示飞行器最大横截面积；CL0, CLα2和CNα分别为零攻角轴向力系数、攻角平方轴向力系数和攻角法向力系数。

表示飞行器在着陆坐标系下的地球引力加速度分量; μ为地球引力常数; R0为地球半径; ωB=[ωx, B, ωy, B, ωz, B]T表示飞行器在弹体坐标系下的角速度分量; JB=diag(jx, B, jy, B, jz, B)表示飞行器在弹体坐标系下的转动惯量分量; MT和MA分别表示在弹体坐标下的推力力矩分量和气动力力矩分量, 其计算公式为：

(4)

(5)

Ω(ωB) 的表达式为

(6)

Isp和g0分别表示飞行器发动机秒耗量和参考重力加速度。

为提升计算效率, 在建立高保真的六自由度着陆模型时有以下假设:

1) 此轨迹优化问题中飞行时域短, 故假设忽略地球自转和曲率影响;

2) 飞行器为轴对称刚体, 在飞行过程中不发生任何损坏和形变;

3) 飞行器的转动惯量为常量;

4) 只考虑飞行器俯仰和偏航姿态的控制, 假设滚转由单独系统进行控制;

5) 飞行器的压心和质心位置保持固定。

thumbnail 图1

着陆坐标系和弹体坐标系示意图

2 问题特性分析

由建模部分可知, 本文研究的六自由度姿态翻转着陆轨迹优化问题中系统的状态量共14维: x (t)=[XL, YL, ZL, vx, B, vy, B, vz, B, ωx, B, ωy, B, ωz, B, q0, q1, q2, q3, m]T∈ R14; 系统的控制量共3维: u(t)=[Tx, B, Ty, B, Tz, B]T∈ R3。着陆轨迹优化问题可以视作寻找满足优化目标的最优控制量且遵从端点及过程约束的最优控制问题, 给出本文研究的着陆轨迹优化问题P1定义

(7)

式中：J代表性能指标, P1中目标函数定为发动机消耗的燃料质量, 即期望飞行器可以携带尽量少的燃料以提升其有效载荷占比; 为系统需要满足的状态方程; φ和h分别为边界条件函数和(不)等式约束。

解决最优控制问题的方法分为2类: 基于变分法、极小值原理的间接法和初估值敏感度低且易于程序化的直接法。着陆轨迹优化问题P1具有连续时间系统且终端时间自由, 结合上文分析, 认为飞行器在着陆阶段具有以下特点:

1) 飞行空域窄, 着陆阶段飞行时间短;

2) 在飞行过程中姿态有大幅度变化, 俯仰角可能有超过90°的变化;

3) 对终端状态要求严格, 即对落地时刻飞行器的速度和姿态误差容忍度低, 要求算法精度高;

4) 初始猜测轨迹难以给出;

5) 目标函数为凸形式, 且过程约束中除发动机推力下限外均为凸约束。

综上分析, 认为使用直接法将连续最优控制问题离散化再通过优化算法对性能指标直接寻优适用于本文研究的着陆轨迹优化问题P1。凸优化由于具有求解效率高、收敛性强和求解精度高等优势是近年来学者们关注的求解最优控制问题的热点方法之一[32-33]。因此本文结合着陆轨迹优化问题特性, 采用迭代凸优化的方法, 利用无损凸化等手段处理非凸项, 对比不同离散方法在求解效率和求解精度上的区别, 对着陆轨迹优化问题P1做出了解答。

3 迭代凸优化算法

理论上只要能将优化问题描述为凸形式, 就可以在多项式时间内得到物理可行问题的全局最优解, 因为凸问题一定是可解且认为其局部最优解同时也是全局最优解, 因此基于迭代凸优化方法设计着陆轨迹优化算法的核心就是将P1描述为凸问题。给出凸集的定义: 集合C中存在任意两点x1, x2∈ C, 当任意的实数0≤ε≤1都满足(8)式时, 称C为凸集。

(8)

下面对问题P1进行分析并对非凸项进行凸化处理。

飞行器携带燃料的质量在总质量中的占比有上限值, 时变的飞行器质量需大于携带燃料的飞行器净质量me, 给出质量的凸约束形式

(9)

为保证飞行器整体的稳定性, 其姿态角速度变化不能太过剧烈, 给出角速率的凸约束形式

(10)

喷管可调整的角度存在限制, 通过推力分量与推力幅值间的比值给出发动机摆角的凸约束形式

(11)

定义飞行器的倾斜角θtilt为2个坐标系X轴间夹角, 用以描述飞行器姿态偏离程度。给出关于倾斜角的凸约束形式

(12)

考虑工程实际情况, 发动机推力的上下限均有约束, 如(13)式所示。

(13)

结合凸集的定义可知, (12)~(13)式的推力幅值上限约束是类似的凸约束表达形式, 但推力下限为非凸且目前尚无较好的方法进行无损凸化, 由凸优化理论可知着陆轨迹优化问题P1中的系统动力学和推力下限约束为非凸项, 故需进行线性化处理, 使得可以使用凸优化算法进行求解。

首先对自由终端时间变量tf进行归一化处理, 得到时间变量 , 得到归一化后的动力学方程表达形式

(14)

再对(14)式使用泰勒展开, 因此需要参考轨迹作为展开点, 定义 和 分别为参考轨迹中的状态量和控制量, 给出线性化后的动力学方程

(15)

式中：A(τ)和B(τ)分别为f(x(τ), u(τ))关于状态变量和控制变量的偏微分矩阵; S(τ)为参考轨迹; z(τ)为常数项, 计算公式为：

(16)

给出化简后的泰勒展开推力下限约束

(17)

完成线性化处理后还需要进行离散化处理才能够使用凸优化算法进行代数求解, 离散化方法会在下一节进行介绍。完成离散化处理后可以将问题P1转化并输入至凸求解器中进行计算。拟采用迭代凸优化的方法不断迭代求解生成的凸子问题以逼近原始问题的全局最优解。

程序求解时需要猜测初始轨迹, 为解决不准确的初始猜测而导致的求解不可行问题, 在目标函数中引入状态量的位置和速度的结束点值作为虚拟负担量 , 在目标函数中的系数为 , 具体的施加形式在(19)式给出。

为防止在迭代求解过程中获得的解逐渐偏离最优解, 在每次解的周围施加一定的信赖域以保证迭代解的有界且可行。信赖域的表达式为:

(18)

本文采取松弛信赖域的设置方法, 即在目标函数中将信赖域作为惩罚项, 使之在迭代初期足够宽松以保证迭代求解的可行性, 随着迭代的进行逐渐缩小以保证解逼近满足约束的最优解。松弛信赖域系数为 , 具体的施加形式在(19)式中给出。

可给出着陆问题P1的凸子问题P2表达形式

s.t:

虚拟负担：

过程约束：

信赖域：

(19)

迭代凸优化算法流程如下所示：

1) 初始化程序, 赋值猜测轨迹、离散点数目、收敛判据等参数;

2) 根据选择不同离散方法对应的动力学方程并结合 , 计算出凸子问题P2中的参数 和偏微分矩阵;

3) 求解凸子问题并得到新的轨迹 ;

4) 判断是否达到收敛判据或最大迭代次数, 若达到则停止输出最优解, 未达到进入步骤5);

5) 更新参考轨迹, 令 , 进入步骤2)。

4 离散化方法对比分析

线性化处理后, 需要离散化将问题P1中的动力学微分方程及各种约束转化为代数约束, 进而采用凸优化算法进行数值求解。离散化后可以将连续时间问题离散到N个离散点t0=t1 < t2 < … < tN=tf上, 不同的离散方法会产生不同的离散点上状态量和控制量之间的线性等式关系, 进而影响求解问题效率, 接下来将对不同离散方法进行详细介绍。

4.1 梯形离散化方法

梯形离散方法是数值积分中表达形式较为简单的离散化方法[28], 对于系统动力学, 梯形离散化的代数约束形式为

(20)

求得第i个和第i+1个离散点上的A(τ), B(τ), S(τ)和z(τ)，代入(15)式即获得 和 的表达式, Δt=ti+1-ti表示相邻离散点的时间间隔。

由(20)式可看出梯形离散方法表达式简单, 计算过程中仅需求各个离散点上的偏微分矩阵。

4.2 伪谱离散方法

近年来, 离散方法中的伪谱法备受关注, 伪谱法采用全局插值多项式的基函数在各离散点上近似从而表示状态量和控制量, 对多项式求微分近似表示状态量对时间的微分。配点一般选择为正交多项式的根, 节点用于近似状态变量的离散点[29-30]。

伪谱法的种类比较多, 不同方法之间采用不同的配点、节点位置, 即数值近似方法不同。在此选用较为经典的Radau伪谱法对系统动力学进行离散化处理。首先将原本时域[0, tf]转化到τ∈(-1, 1], 在此区间上取K阶多项式PK(τ)+PK-1(τ)的根, 其中

(21)

采用配点共N-1个, 节点共N个, 节点比配点多的点为初始时间点。采用N个拉格朗日插值多项式Li(τ)(i=0, 1, …, N-1)为基函数来近似状态量

(22)

控制量的近似采用N-1阶拉格朗日多项式为基函数Lk(τ)(k=1, 2, …, N-1)，即

(23)

式中, 基函数的表达形式为

(24)

由(22)和(23)式可得到离散动力学代数约束

(25)

式中，Dki=L′i(τk)为插值基函数在配点τk的微分。

伪谱法采用全局插值多项式, 不仅需要计算偏微分矩阵, 还需计算基函数在正交多项式选取不同根的微分表达形式, 但其收敛性强且精度较高。

4.3 一阶保持离散化方法

一阶保持离散方法因其求解效率高且误差小成为近年来的一个研究热点。其思路是首先将控制量参数化为分段线性函数[31], 具体形式为

(26)

可以看出每个离散点上的控制变量仅与和其相邻的2个点控制量有关, 其中: , 。

引入状态转移矩阵ΦA(τi+1, τi)表示状态量从τi时刻到τi+1的变化, 状态转移矩阵具有以下性质

(27)

可以给出离散动力学代数约束

(28)

式中

5 数值仿真实验

通过前文对着陆问题的分析与迭代凸优化算法的介绍, 采用Matlab语言编程并调用基于稀疏性线性代数内点法的ECOS求解器进行求解, 求解收敛精度设置为5×10-5, 算法运行环境为Intel(R) Core(TM) i7-10750H CPU@2.6 GHz, 16 GB内存的笔记本电脑。除离散方法导致的动力学表达形式不同, 其余算法内参数均保持一致以进行对比分析, 初始化算法需要的参数通过表 1~2给出。

整个问题为自由时间的轨迹优化问题, 飞行器在初始位置向目标着陆点飞行, 在满足过程约束的前提下将姿态翻转为竖直, 期望整个飞行过程消耗燃料最少并且安全着陆到目标点。根据算法流程, 设置算法终止的收敛判据为2次迭代间终端位置误差为5 m, 终端速度误差为2.1 m/s。分别使用3种离散方法, 2次迭代间位置和速度差值由图 2~3给出。

梯形离散方法得到优化结果需要进行7次迭代, 平均每次迭代计算耗时为0.62 s; 伪谱离散方法得到优化结果需要进行8次迭代, 平均每次迭代计算耗时为1.56 s; 一阶保持离散方法得到优化结果需要进行8次迭代, 平均每次迭代计算耗时为0.90 s; 详细的优化结果通过表 3给出。

采用不同离散方法对问题进行处理可以得到不同的的凸子问题表达形式, 离散化处理后可以将约束条件表述为离散点上关于状态量、控制量间的等式和不等式关系, 写成如A· X ≤Kb的形式, 其中, ≤K表示广义不等式符号; A表示所有约束条件的系数矩阵; X表示所有的优化变量; b为常数项。A矩阵中存在大量的零元素用来保证矩阵完整, 其稀疏结构对凸优化算法调用的ECOS求解器求解效率有较大影响[34]。对于本文研究的着陆轨迹优化问题的问题求解规模, 为使得3种离散化方法的计算效率和求解精度均处于合理范围, 进行参数对比调试后设置其离散点数目均为40进行对比分析, 给出各自动力学约束矩阵的稀疏结构如图 4所示, 横纵坐标分别为约束矩阵的行和列, 其中蓝色部分即为非零元素所处于矩阵中的位置。

梯形离散、伪谱离散和一阶保持离散的矩阵稀疏结构中非零元素占比分别为2.2%, 6.2%和1.8%。改变离散点数目会影响优化问题的求解规模, 并不改变约束矩阵的离散化表达形式, 即约束矩阵的稀疏程度并不随着离散点数量的改变而产生剧变[34]。

从表 4的优化结果中可以看出, 3种离散化方法求解得到的最优轨迹都趋于相同, 这说明凸优化算法中使用不同的离散化方法并不影响最优轨迹的一致性。但3种离散方法的问题求解耗时不同, 这是因为其离散化后动力学方程使用A矩阵的表达形式不同。对于相同维度的A矩阵, 矩阵越稠密即内部的非零元素越多, ECOS求解器所需做的矩阵分解和KKT求解等计算量就越大, 计算时间也随之增长。在计算参数生成过程中, 梯形离散只需要计算离散点上的偏微分矩阵, 一阶保持离散方法还需要计算状态转移矩阵和控制矩阵系数等参数, 且伪谱离散方法还需计算全局多项式的微分, 其计算参数生成的时间最长。故综合计算参数生成和求解器计算时间，梯形离散方法耗时最少, 一阶保持离散方法求解效率次之, 伪谱法计算耗时最长且与其他方法相差较大。

在得到优化结果后, 可积分原始动力学以验证其正确性, 故采取四阶龙格库塔方法对着陆轨迹优化问题进行原始动力学积分[25]。考虑到不同离散化方法的特性不同, 其求解效率和求解精度表现与离散点数量存在一定关系, 故增加不同离散点数目下的数值仿真实验，进一步对比3种离散化方法的表现。问题求解耗时表现如表 4所示, 问题求解精度表现如表 5所示。部分状态量展示于图 5~8, 双Y轴图中的左侧Y轴为伪谱离散和一阶保持离散方法的坐标纵轴, 右侧Y轴为梯形离散的坐标纵轴。

由结果对比, 注意到在100离散点仿真工况下, 梯形离散在求解精度表现上仍与其他2种离散方法差距较大, 故增加1组200离散点数目下梯形离散方法的仿真实验, 梯形离散方法在此仿真工况下得到优化结果需要进行13次迭代, 平均每次迭代计算耗时为29.28 s; 求解精度表现结果记录在表 6。

给出使用一阶保持离散方法在80个离散点工况下的具体仿真结果图，如图 9~12所示，以展示飞行过程中飞行器的状态和控制变量。

注意到图 10中出现的推力下限震颤现象，认为使用一阶保持离散方法得到的优化结果中存在这一现象的原因有2个：①动力学方程中存在状态变量和控制变量的耦合[35]；②一阶保持离散方法认为控制变量是分段线性的。同时用(17)式近似表示推力下限也会引起结果中的控制变量在推力下限约束附近震荡。可以在问题求解过程中对推力变化率增加约束以减缓其震荡，或将控制变量更改为推力变化率以解耦状态量与控制量。

由仿真结果可知：增加离散点数目对提升3种离散方法的问题求解精度均有效，各种状态量的优化与积分间误差随着离散点规模的增大都有减小趋势。相同的离散点规模仿真工况下可以看出：

伪谱离散法由于其全局拟合的特性而求解精度最高，例如在40个离散点规模的仿真实验中，其终端位置的误差为1 m左右。这是因为伪谱离散方法得到的离散动力学与每个离散点的状态量都相关，基于全局插值多项式拟合特性得到的离散矩阵较为稠密，即对原始非线性动力学的近似程度最好，故在较少的离散点规模仿真实验中，耗费较长的计算时间可以取得较高的求解精度。

一阶保持离散方法得到的离散动力学方程仅与相邻离散点上的状态量和控制量相关，对原始动力学的拟合程度较好，在80个离散点规模的仿真实验中，终端位置的误差在0.3 m左右，耗费最短的时间可以与伪谱法的求解精度表现接近。

梯形离散方法的离散化动力学形式简单，与问题原始非线性动力学的近似效果差，在200个离散点的仿真实验中，终端位置误差仍然在55 m左右，耗费了最长的计算时间仍然与其他2种离散方法在求解精度上差距较大。

表1

着陆阶段飞行器参数

表2

着陆阶段仿真工况参数

thumbnail 图2

迭代间位置误差
thumbnail 图3

迭代间速度误差
表3

优化结果

thumbnail 图4

矩阵稀疏结构对比
表4

求解耗时结果

表5

优化结果与积分结果间误差

thumbnail 图5

位置误差图
thumbnail 图6

速度误差图
thumbnail 图7

质量误差图
thumbnail 图8

姿态四元数误差图
表6

200离散点梯形离散仿真结果

thumbnail 图9

轨迹示意图
thumbnail 图10

发动机推力图
thumbnail 图11

速度图
thumbnail 图12

姿态四元数图

6 结论

本文通过对类星舰飞行器垂直着陆过程进行分析，建立了考虑姿态运动的六自由度着陆轨迹优化问题动力学模型。通过数值仿真实验，在问题求解效率和求解精度2个维度上，对比了3种不同离散方法在迭代凸优化算法中的表现。梯形离散方法的求解耗时最少，但求解精度与其他2种方法差距较大；伪谱离散法由于其全局拟合特性，问题求解精度最高但计算耗时较长；一阶保持离散法求解效率较高，同时其求解精度能够做到与伪谱法接近。

综上所述，在线轨迹优化算法的运行环境为箭载计算机，其实时规划的特性对问题的求解效率和精度有较高要求，一阶保持离散方法对问题的原始非线性动力学拟合效果好，使用一阶保持离散方法的迭代凸优化算法能够在较少的计算耗时内给出准确的规划结果，是在线求解轨迹优化问题的优秀解决方案，为后续的制导算法研究提供了有效支撑。

本文的研究中存在一些不足，如忽略了地球自转产生的影响；认为着陆过程中飞行器的质心和压心不变；忽略了动力学模型误差和着陆过程中各种干扰带来的影响等。在设计迭代凸优化算法中采用简单模型以解决轨迹优化问题，升级模型的复杂程度和设计滚动时域制导算法仍然需要做进一步研究。

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All Tables

表1

着陆阶段飞行器参数

In the text
表2

着陆阶段仿真工况参数

In the text
表3

优化结果

In the text
表4

求解耗时结果

In the text
表5

优化结果与积分结果间误差

In the text
表6

200离散点梯形离散仿真结果

In the text

All Figures

thumbnail 图1

着陆坐标系和弹体坐标系示意图
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thumbnail 图2

迭代间位置误差
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thumbnail 图3

迭代间速度误差
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thumbnail 图4

矩阵稀疏结构对比
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thumbnail 图5

位置误差图
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thumbnail 图6

速度误差图
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thumbnail 图7

质量误差图
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thumbnail 图8

姿态四元数误差图
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thumbnail 图9

轨迹示意图
In the text
thumbnail 图10

发动机推力图
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thumbnail 图11

速度图
In the text
thumbnail 图12

姿态四元数图
In the text

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